SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI DELLE EQUAZIONI DINAMICHE 819 



Ritenuto ciò, si supponga F funzione algebrica delle if e 

 quindi definibile mediante un'equazione del tipo: 



(3) SnF"' -f s, F"'- 1 + ... + .?,„.i F + 5. = , 



a coefficienti razionali interi nelle (/' stesse. La (3) si può sempre 

 considerare irriducibile nel campo di razionalità delle c^ . Ap- 

 plicando ad essa l'operazione Q, siccome i^F = 0, verrà: 



(4) <às . F"' + Q5, . F-^ + ... -I- Q.5„_, . F + Qs„, = 0, 



e, per l'irreducibilità della (3), siccome, avuto riguardo alla forma 

 di Q, per le ipotesi ammesse circa le Q,,, i coefficienti della (4) 

 sono ancora razionali nelle g', seguirà necessariamente: 



e quindi per esempio «o . Q.9i — Si . Qsq ^ 0» od anche 



s'o 



- 0, 



Sm 



da cui apparisce che ciascun rapporto — ^ , ^^ , ... , -^ , ove 



non si riduca ad una pura costante, è integrale primo delle (1). 

 In generale questi integrali potranno non essere tutti di- 

 stinti, né si può escludere che alcuno sia di per se una costante; 

 uno almeno deve però contenere effettivamente le <( e sarà 

 l'integrale razionale, di cui volevamo stabilire l'esistenza (*). 

 Se mai la (4) si riduce ad una identità, il sistema possiede al- 

 meno un integrale razionale intero. 



3. — Quando i legami imposti al sistema materiale S sono 



(*) Come già il sig. Koenigs, pel caso di forze provenienti da un po- 

 tenziale, notiamo che, anche nel caso generale, l'esistenza di un integrale F, 

 algèbrico rispetto ad alcune soltanto delle q trae necessariamente l'esistenza 

 di almeno un integrale razionale rispetto alle stesse quantità. La dimostia- 

 zione sarebbe identica a quella sopra accennata. 



Atti della li. Accademia — Voi. XXXI. 56 



