SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI DELLE EQUAZIONI DINAMICHE 823 



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In virtù delle (6), si ha: 



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y A.r^r.2...r„rm+\ q r^q r^-.. q r„q r„,^^ = , 



la quale, avuto riguardo alla simmetria del sistema Ar,r2 ... r„,, 

 che si conserva pei primi m indici delle A^, r^ ... rmr m+i, esige 

 che il sistema Ar,r5 ... m»-m+i sia, come si dice, emisimmetrico , 

 che cioè sieno nulle le somme degli elementi, che si ottengono 

 da ogni generico coefficiente A^ra ... rmrm+i, eseguendo sopra i 

 suoi indici m -{- 1 potenze consecutive della sostituzione circo- 

 lare (nrg... r,„r„a.i). 



Concludiamo pertanto: 



Affinchè y ^rir^.-.r^q'r^q'r, ... q'r„ = cosi sìtt integrale primo 



per un sistema S, su cui non agiscono forze, o, ciò che è lo stesso, 

 per le equazioni delle linee geodetiche in una varietà qp di ele- 

 mento lineare ds=:y2Tdt\ è necessario e basta che il sistema 

 Ar,,-2...r„,r„,j_^ Sia emisimmetrico. 



Esprimendo così le condizioni per l'esistenza di un inte- 

 grale omogeneo di grado m, si mette in evidenza colla massima 

 semplicità il loro carattere invariantivo di fronte ad ogni pos- 

 sihile trasformazione di coordinate. 



L^ Accademico Segretario 

 Andrea Naccari. 



