INTORNO ALLA DETERMINAZIONE TEORICA DELLA GRAVITÀ, ECC. 861 



l'equazione della superficie S in coordinate polari : t è una fun- 

 zione della latitudine e della longitudine geocentriche di Q. 

 Le (1) (2) (6) danno allora, per ogni punto della S: 



(7) fK_,,^_f^^t^ afJJ 4- cp = 0. 



Se la superficie S è conosciuta, questa relazione determina i 



valori superficiali della funzione U a meno di una costante ^. 



E poiché la U deve soddisfare alla (4) e, fuori della S, alla 

 A^ V = 0, e a distanza infinita deve godere della nota proprietà 

 delle funzioni potenziali, sarebbe facilissimo dimostrare che il 

 valore della U è perfettamente determinato per ogni punto fuori 

 e sopra la S. Così il valore della gravità resta perfettamente 

 determinato fuori e sopra una superficie d'equilibrio, appena 

 questa superficie sia conosciuta e purché si conosca la massa 

 totale (teorema dovuto a Stokes). 



2. — Cerchiamo di dedurre dalle formolo (5) e (7) una re- 

 lazione approssimata fra la forma della superficie d'equilibrio e 

 il modo di variare della gravità. Per una nota formola, che si 

 deduce da quella di Green, il valore della funzione U nel punto 

 Q della S può esprimersi così: 



(8) U = f f-^^-ffu'^c^S-f [a^U'^ 



^ ' 2tc J dn r 2t: J òn 2tt J * r 



dove i primi due integrali sono estesi alla superficie S, l'ultimo 

 allo spazio a esteriore ad S; r è la distanza del punto Q dal 

 centro dell'elemento dS, da risp.*^; con un accento sono indicati 



r^ TT 



i valori delle funzioni TI, -s — , A^ U nei centri dei rispettivi 



elementi di integrazione. L'ultimo integrale è nullo in virtù 

 della (3). 



Ora, poiché le espressioni di U e x— figurano nelle (5) (7) 



moltiplicate pel fattore a, è chiaro che, nel nostro ordine di ap- 

 prossimazione, volendo dalla (8) dedurre una relazione fra U 



e Y~ì potremo ivi supporre la superficie S confusa colla sfera Si. 



