958 GIUSEPPE PEANO 



Somma di due forme dello stesso grado è la forma che 

 si ottiene scrivendo dopo i termini della prima quelli della 

 seconda. 



Prodotto d'una forma di grado i per una di grado j^ sup- 

 posto i -\-j < 4, è la somma dei prodotti d'ogni termine della 

 prima per ogni termine della seconda. 



Conseguenza immediata di queste definizioni, si è che il 

 calcolo geometrico che ne risulta differisce dal calcolo algebrico 

 in ciò che 



1° Possiamo moltiplicare solo due, o tre, o quattro punti: 

 non si hanno forme di grado superiore al quarto. 

 2° Si ha AB = — BA, e quindi AA = 0. 



In tutto il resto il calcolo geometrico ha tutte le proprietà 

 del calcolo algebrico sui polinomii. 



L'addizione è commutativa ed associativa, la moltiplicazione 

 è associativa, e distributiva rispetto ad ambi i fattori. Dovunque 

 ad una forma possiamo sostituirne una eguale. 



Questa coincidenza dei due calcoli costituisce l' immenso 

 vantaggio del metodo di Grassmann, Esso permette di operare 

 e ragionare con un grande risparmio di sforzo e di memoria; 

 poiché in questo nuovo calcolo si opera come in un calcolo già 

 conosciuto. Questo metodo risponde quindi al principio del mi- 

 nimo sforzo, il quale sussiste non solo in meccanica, ma anche 

 in didattica. 



Reciprocamente, attribuendo ad ABCD il significato già detto, 

 e volendo che sussistano le dette regole algebriche, si ottiene 

 di necessità il calcolo di Grassmann, che risulta così definito. 

 Però siffatta definizione sarebbe sovrabbondante; essa equivale 

 ad un gruppo di proposizioni, alcune delle quali sono vere defi- 

 nizioni, e le altre ne sono conseguenza. 



§ 4. — Vettori. 



Fra le forme di primo grado merita menzione speciale la 

 differenza B — A di due punti, cioè l'insieme di due punti A e B 

 coi coefficienti — le -\-l. Siffatta differenza dicesi vettore. 



Due vettori B — A e B' — A' sono eguali quando, per la de- 

 finizione data, comunque si prendano i punti PQR, si ha 



BPQR — APQR = BTQR — A'PQR. 



