964 GIUSEPPE PEANO 



Ogni forma di terzo grado è una funzione lineare dei pro- 

 dotti a tre a tre delle forme di riferimento, cioè si può egua- 

 gliare a: 



Zi Ag A3 Ai — 02 Al A3 A4 -|- % Al Ag A4 — Zi Al Ag A3. 



I quattro numeri Zi ... Zi sono le coordinate della forma. 

 Le coordinate d'una forma si esprimono facilmente come 

 rapporti di tetraedri. Invero, pongasi 



O — Xi A-i ~|~ Xi A-a — 1~ 3J3 ix3 ~t~ "^i -^4" 



Si moltiplichi per A, A3 A4 ; nel secondo membro rimarrà 

 solo il primo termine, onde, ricavando Xi, 



S Ao Ao A, 

 Xi = 



Al Ai A3 A4 ' 



e analogamente si hanno le altre coordinate. 

 Consideriamo una forma di secondo grado. 



s = iju Al A2 + ?/i3 Al A3 + ... 



Moltiplico per A3 A4, e ricavo: 



__ sAsA; 

 ^'^ A,A2A3A4 • 



Analogamente per le forme di terzo grado. 



Sulle cordinate si risolvono con grande semplicità varii pro- 

 blemi, quali quelli di trovare le coordinate di somme prodotti 

 di forme di date coordinate ; basta invero eseguire le operazioni 

 indicate. 



Ad esempio, vogliasi calcolare il volume del tetraedro pro- 

 dotto di quattro forme di prima specie di date coordinate 

 {xi, ... Xi), (^1, ... ^ji), {z^, ... Zi), ih, ... ti). 



Le forme date hanno adunque per espressione: 



Xi Al -j- a?2 A2 -j- Xs A3 -j- Xi A4 

 !/i Al -f ^2 A2 + yz A3 + yi A4 

 Zi Al -\- ZiA2-{- Z3 A3 + Zi A4 

 ^1 Al -f ^2 A2 + ^3 A3 + ti A4. 



