SAGGIO DI CALCOLO GEOMETRICO 



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Moltiplichiamo questi polinomii. Il prodotto consterà di 

 più termini; ora quando si moltiplicano due termini apparte- 

 nenti alla stessa verticale si ha per prodotto zero. Bisognerà 

 adunque moltiplicare i termini presi in orizzontali e verticali 

 diverse. Un termine del prodotto sarà Xi y^ z^ t^ Ai A2 A3 A4 ; 

 ogni altro termine si otterrà da questo permutando gli indici 

 1, 2, 3, 4; e se vogliamo far comparire fattor comune Aj A2 A3 A4, 

 bisognerà dare al coefficiente il segno -f- — secondochè il 

 numero delle inversioni è pari dispari. Si ha così per prodotto 



CCi Xì X^ Xi 



Vi y2 Vi I/i 



^1 ^2 ^J ^4 



h ti ti f4 



Al Aj A3 A4 , 



e ciò per la definizione di determinante. 



Si vede qui comparire il concetto di determinante, la cui 

 teoria si può tutta sviluppare coi metodi generali del Grrass- 

 mann, ma' su cui basti questo cenno, poiché qui intendiamo 

 parlare delle applicazioni geometriche. 



Gli elementi di riferimento Aj A2 A3 A4 possono essere qua- 

 lunque. Merita menzione speciale il caso in cui si prendano per 

 elementi di riferimento un punto e tre vettori, non compla- 

 nari, I, J, K. Il sistema di coordinate si dirà cartesiano. Ogni 

 forma di primo grado è riduttibile alla forma 



mO -{- xl -{- yj -\- zK, 



ogni punto alla forma 



-^xl-\ry3-\-zK, 



ogni vettore alla forma 



xl -j- yj -{- zK. 

 Ogni forma di secondo grado è riduttibile a 



ZOI-fmOJ + wOK+^JK + ^KI + rlJ. 



