SAGGIO DI CALCOLO GEOMETRICO 967 



Una forma di secondo grado, tale che il prodotto di essa 

 per se stessa non sia nullo, determina un complesso lineare. 



Una forma di terzo grado non nulla, è riduttibile o ad un 

 triangolo o ad un trivettore; nel primo caso determina un 

 piano al finito ; il trivettore corrisponde al piano all' infinito. 

 Le quattro coordinate della forma sono le coordinate omogenee 

 del piano (*). 



§ 8. — Prodotti regressivi. 



Abbiansi due forme di primo grado (o punti) A e B ; ed 

 un triangolo (o piano) tt. Vogliamo trovare il punto d'incontro 

 della retta AB col piano ir. Perciò ogni punto della retta avrà 

 un'espressione della forma xA-i-yB; e dovendo esso giacere 

 in TT, dovrà essere 



{xA-\-y'B)TX = 0, 

 £cAtt -f- tjBn = 0. 



Cloe 



Quest' equazione è soddisfatta se prendo x ed y proporzionali 

 ai volumi Btt e — Att. Quindi indicando con [t] il numero che 

 misura il tetraedro t rispetto ad un tetraedro fisso, la forma: 



^ [Btt]A — [Att]B 



giace sulla retta AB e sul piano tt ; il punto che determina è 

 l'intersezione di quella retta con questo piano. 



Ora si può dimostrare che questa forma, che si presenta 

 come funzione di A e di B, è in realtà funzione del solo pro- 

 dotto AB, cioè che essa non varia ponendo al posto di A e B 

 altre forme A' e B' tali che AB = A'B'. Perciò chiameremo 

 l'espressione trovata il prodotto di AB per tt, e scriveremo 



AB.tt = [Btt]A — [AttJB. 



(*} Un più ampio sviluppo delle coordinate projettive, dedotte dal 

 calcolo geometrico, trovasi in C. Burah-Fokti, Il metodo del Grassmann 

 nella Geom. proj. (" Rend. circ. Palermo ,, a. 1896, p. 177). 



