SAGGIO DI CALCOLO GEOMETRICO 971 



Il coseno dell'angolo di due vettori è compreso fra — 1 e -i-1. 



Questa formula, fatti sparire i denominatori, dice che il 

 prodotto d'un vettore per l'indice d'un altro vale il prodotto 

 dei moduli pel coseno dell'angolo compreso. 



Il prodotto 1 1 J f u dal Grassmann chiamato prodotto interno 

 dei due vettori. Egli disse loro prodotto esterno il bivettore IJ. 

 Questo prodotto interno comparisce in Meccanica, poiché è il 

 lavoro fatto dalla forza I ove il punto d'applicazione abbia ri- 

 cevuto lo spostamento J; e in più trattati di Meccanica si è 

 proposto per questo prodotto un segno speciale. 



Così le operazioni della matematica elementare: distanza 

 di due punti, area d'un triangolo, seno, coseno d'un angolo, le 

 quali operazioni non sono distributive, ma hanno proprietà com- 

 plesse, si esprimono mediante prodotti esterni ed interni di 

 Grassmann, sui quali si opera con regole pressoché identiche 

 alle regole algebriche. 



§ 11. — Applicazioni alla Geometria cartesiana. 



Siano I, J, K tre vettori, di lunghezza l'unità, a due a due 

 ortogonali, e tali che IJK=-|-1. Sarà 



I|I = J|J = K|K = 1, I|J==I1K = J|K = 0, 



|(JK) = I, |(KI) = J, |(IJ) = K. (l) 



Un vettore U di coordinate x, y, z ha per espressione 



U = a;I-f 3/J4-0K. (2) 



Moltiplico U per | U, cioè ne faccio il quadrato. Esso vale 

 (mod U)^ ; nel secondo membro sviluppo il quadrato colle regole 

 algebriche, tenendo conto delle identità (1), ed ho: 



(modU)' = x^ ■\- tf 4- z\ (3) 



Se i vettori I, J, K non fossero ortogonali, si presentano 

 ancora i termini 2xyl\S-ì-...', ove I i J = cos (I, J). 



