974 GIUSEPPE PEANO 



§ 12. — Geometria infinitesimale. 



Dicesi che la forma variabile di primo grado S ha per li- 

 mite la forma fissa Sq, se, comunque si prenda il triangolo PQR^ 

 si ha 



lim SPQR = SoPQR. 



Analogamente per le forme di grado superiore. 

 Se una forma S(/) è funzione d'una variabile numerica t^ 

 si pone 



dt h=o ^ 



ove, nel secondo membro, tutti i segni introdotti già furono 

 definiti. 



Sussistono per le somme e per i prodotti di forme le re- 

 gole comuni di derivazione; i simboli uj ed | si comportano 

 come fattori costanti. Si baderà però solo a non invertire l'or- 

 dine dei fattori. 



Le definizioni di derivate successive e di integrali sono qui 

 applicabili. La formula di Taylor sussiste sotto la forma ad es. 



" Se S(0 è una forma geometrica, funzione di t, avente' 

 per i = ^0 1^ derivate prima e seconda, si ha : 



S(io 4- A) = S(^o) -f- AS'(^o) + 1^ S"(4) + R, 



ove R è una forma infinitesima con li d'ordine superiore al 

 secondo „. 



Non si ha bisogno dì ammettere p. es. la continuità di 

 S"(^), come provai nei miei trattati. 



L'espressione del resto, sotto forma d' integrale, sussiste 

 senza variazione alcuna. 



Quella di Lagrange ha bisogno di leggera modificazione: 

 e siccome nel mio Calcolo geometrico (Gap. Vili) enunciai il ri- 

 sultato, senza scriverne la dimostrazione, non sarà inutile di 

 qui esporla: 



