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laborazione col sig. Castelnuovo: Sopra alcune questioni fonda- 

 mentali nella teoria delle superficie algebriche (*), sicché la presente 

 Nota potrebbe riguardarsi come lo sviluppo del § I e di una 

 parte del § Il del suddetto lavoro. Nel quale è pur contenuta 

 un'idea che mi ha guidato durante l'attuale redazione come cri- 

 terio semplificatore, e mi ha permesso di eliminare tante minute 

 difficoltà inerenti agli sviluppi della mia Introduzione. 



Notoriamente è precipua cagione di difficoltà, nello studio 

 delle superficie, il fatto che un punto (semplice) possa mutarsi 

 per effetto di una trasformazione birazionale in una linea (ecce- 

 zionale) ; cosa che non ha alcun riscontro nella teoria delle curve. 



Fino dal 1893 io intravidi il modo di superare la difficoltà 

 accennata " Trasformare la superficie data in un'altra, priva di 

 curve eccezionali „ . Questa trasformazione non è possibile per le 

 superficie razionali e per le rigate, ma è ormai dimostrata pos- 

 sibile per tutte le altre superficie (**). Io ebbi sempre la convin- 

 zione di questo resultato che ha costato molta fatica, sebbene 

 non riuscissi a giustificarlo che sotto restrizioni superflue (***). 

 Questa convinzione mi ha indotto, nella Introduzione del 96, a 

 porre innanzi il concetto àelVente algebrico doppiamente infinito, 

 in modo rispondente ad una superficie senza curve eccezionali. 

 Ma per piegare a questo concetto la teoria delle superficie, fino 

 dal principio, in modo da abbracciare anche il caso del piano 

 e delle rigate, si è costretti a porre delle convenzioni, che rie- 

 scono un po' sforzate. 



A dir il vero, queste convenzioni avevano lo scopo di dare 

 fino dal principio alla teoria un significato invariante, in senso 

 assoluto, rispetto alle trasformazioni birazionali. La nuova idea 

 semplificatrice è che conviene studiare dapprima le proprietà 

 dei sistemi lineari, sopra una superficie, che permangono in ogni 

 trasformazione birazionale di essa non producente nuove curve 

 eccezionali. Si tratta dunque di considerare un'invarianza relativa 

 invece di un'invarianza assoluta; ma è poi facile passare dalle 

 proprietà invarianti in senso relativo ad altre proprietà inva- 

 rianti in senso assoluto. 



(*) " Annali di Matematica ,, serie III, t. VI. 

 (**) Castelnuovo e Enriques, Ice. cit. 

 (***) Introduzione , § 42. 



