INTORNO Al FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA, ECC. 21 



Dirò iji fine che riferisco sempre il mio studio a superficie 

 affatto prive di singolarità (appartenenti ad uno spazio con un 

 numero qualunque di dimensioni), il che non costituisce, come 

 è noto, una restrizione essenziale. Quando la superficie data si 

 trasformi in un'altra con punti singolari, occorre considerare 

 questi come sciolti, in modo opportuno, secondo risulta dall'esame 

 di ciò che corrisponde ad essi sopra la superficie primitiva. 



Quanto ai sistemi lineari di curve tracciate sopra una su- 

 perficie (senza singolarità), considero i punti base di essi, nei 

 casi di singolarità straordinarie, come la riunione di punti mul- 

 tipli ordinari infinitamente vicini, precisamente come nella teoria 

 delle curve piane. Ciò è pienamente giustificato dal fatto che si 

 può sempre rimpiazzare l'intorno d'ordine n di un punto sem- 

 plice, sopra una superficie di S^, coli' intorno del punto stesso 

 sopra il paraboloide d'ordine n, osculatore in esso alla super- 

 ficie stessa. 



1. — Sia F la superficie, affatto priva di singolarità, cui rife- 

 riamo il nostro studio. 



Un sistema lineare oo' (?->0) di curve (algebriche) C sopra F, 

 si può definire mediante un sistema lineare di varietà b, k — 1 

 dimensioni dello spazio Su cui F appartiene: 



Le suddette varietà segano sopra F le curve C, all'infuori 

 di qualche curva fissa K, comune a tutte le varietà 



f, = o ...u, = 0, 



la quale non voglia considerarsi come appartenente alle curve C. 



n sistema delle C si designerà con \C\. 



Le C possono contenere, del resto, qualche componente fissa, 

 che insieme alla K costituisca l'intiera curva comune alla super- 

 ficie F e alle varietà 



Le C, anche all'infuori delle loro eventuali componenti fisse, 

 possono avere qualche punto fisso comune, avente per esse una 



