INTORNO AI FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA, ECC. 23 



3. — Un sistema lineare \C\, virtualmente privo di punti 

 base sopra F, si dirà completo (o normale) (*), quando esso non 

 sia contenuto in un sistema lineare più ampio di curve del me- 

 desimo ordine. 



Una curva C, data su F, appartiene ad un determinato si- 

 stema lineare completo di curve dello stesso ordine, virtualmente 

 privo di punti base. 



Questo teorema si dimostra nel seguente modo. 



Anzitutto la C appartiene a qualche sistema lineare oo'", con 

 r ^ 0. Ed inoltre la dimensione r di un sistema contenente C 

 non può superare il numero delle intersezioni delle curve C con 

 una curva d' ordine superiore a quello delle C, tracciata sulla 

 superficie. Perciò partendo da un sistema lineare di curve dello 

 stesso ordine contenente C, ed ampliandolo successivamente, si 

 dovrà giungere ad un sistema completo cui C appartiene. 



Per mostrare che tale sistema è unico, basta far vedere che 

 due sistemi lineari di curve dello stesso ordine, contenenti la C, 

 sono contenuti in un medesimo sistema lineare di curve ancora 

 dello stesso ordine. Se i due sistemi dati sono tali che Tuno non 

 contenga l'altro, il nuovo sistema costruito sarà più ampio di 

 entrambi, e perciò nessuno dei due sistemi suddetti potrà essere 

 completo. 



Si abbiano dunque due sistemi lineari \Ci\,^C.2\ di curve 

 dello stesso ordine, contenenti la C. 



Essi vengono segati rispettivamente da due sistemi lineari 

 di varietà 



il primo dei quali potrà avere su F una certa curva base K 

 comune alle /", = 0, non computata come parte fissa delle Ci, e 

 il secondo una certa curva L comune alle cp, z= 0, non compu- 

 tata come parte fissa delle Cg. 

 Sieno p. e. 



(*) La parola " normale „ è usata ordinariamente nella Introduzione..., 

 cfr. n° 9. 



