INTORNO AI FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA, ECC. 29 



12. — Ora possiamo definire il genere e il grado virtuale 

 per un sistema lineare |C|, comunque riducibile, dato sopra la 

 superfìcie F. 



Anzitutto scegliamo un ordine m così elevato, che vi sieno 

 delle varietà d'ordine m dello spazio S^^ cui F appartiene, pas- 

 santi per una curva C ed aventi un sistema di curve residue K, 

 irriducibili, senza punti base. 



Innalzando se occorre ancora l'ordine m, possiamo ottenere 

 che il sistema lineare \C-^ K\, dotato dei medesimi punti base 

 assegnati di \C\, sia irriducibile, ed anche, se si vuole, che esso 

 non abbia punti base accidentali o ipermultipli. 



Sieno ora tt, n il genere e il grado di \K\; TT, N i carat- 

 teri analoghi di |C4--^^L ed i il numero delle intersezioni di 

 una C e di una K generiche. Definiamo il genere x q \\ grado y 

 (virtuali) di \C\, rispettivamente mediante le equazioni 



Tr-|-a'-f-^ — 1=TT 

 n-^y -\-2i=V\. 



Tale definizione fa dipendere apparentemente i caratteri 

 di \C\ dalla scelta del sistema ausiliario \K\. E facile però di- 

 mostrare, che i suddetti caratteri riescono indipendenti da tale 

 scelta. 



Perciò si consideri invece di liiTl un qualsiasi sistema lineare 

 irriducibile \Ki\, di genere e grado tTj, Wi, non avente punti base 

 su F, il quale sommato a |C| dia un sistema |(7-j-^i| irridu- 

 cibile. Detti TTi, Ni il genere e il grado di \C -\- K^l, e detto ^i il 

 numero (virtuale) delle intersezioni di una (7 e di una K^, è facile 

 provare che le equazioni 



TT + .r -f « — 1 = TT 



TT. + x 4- i'i— 1 =TTi, 

 e le 



n-\-y-^2i=n 



«i-f y + 2i, = N, , 



conducono ai medesimi valori di x, y. Basta a tal fine applicare 

 le formule del n** 11, al sistema 



