INTORNO AI FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA, ECC. 31 



Se \C\ è un sistema lineare oo^^ si trasformi la superficie F 

 in una F^ dello spazio S-i, sopra cui le C vengano segate dai 

 piani ; la trasformazione riesce generalmente birazionale, e sup- 

 porremo appunto che ciò avvenga, riservandoci a mostrare piìi 

 tardi che si tratta di una restrizione non essenziale. 

 ♦ Le jacobiane delle reti contenute in \C\ vengono rappre- 

 sentate sopra Fi dalle sezioni di Fi colle superficie prime polari 

 di essa; perciò le suddette jacobiane appartengono ad un sistema 

 lineare co^. 



Se la dimensione di \C\ è superiore a 3, date in esso due 

 reti, è facile costruire entro \C\ tre sistemi lineari co^ a, 8, T, 

 il primo dei quali contenga una delle due reti, il terzo l'altra, 

 e siffatti che il sistema intermedio 3 abbia comune una rete con 

 ciascuno dei due nominati a, y- Per il teorema del n*' 4, i 

 sistemi jacobiani di a, B, t, saranno quindi contenuti in un me- 

 desimo sistema lineare completo di curve dello stesso ordine, a 

 cui appartengono tutte le jacobiane delle reti contenute in \C\. 



Il teorema enunciato resta così dimostrato completamente 

 salvo un'ipotesi restrittiva che abbiamo fatto per via intorno ai 

 sistemi lineari oo^, la quale restrizione si può esprimere dicendo 

 che " le curve del sistema passanti per un punto generico non 

 passino in conseguenza per altri punti della superficie, variabili 

 col primo „. 



Avendosi ora un sistema lineare \C\ oo\ per cui tale restri- 

 zione non fosse soddisfatta, la trasformazione eseguita innanzi 

 non ci condurrebbe piìi da F ad una superficie semplice Fi in 

 corrispondenza birazionale con essa, ma ad una superficie mul- 

 tipla, composta di una superficie Fi contata un certo numero di 

 volte. La corrispondenza tra F, Fi sarebbe allora razionale in 

 un senso solo. In tal caso le jacobiane delle reti contenute in C; 

 avrebbero come corrispondenti su Fi, non le sezioni di Fi colle 

 sue polari, ma queste sezioni aumentate della curva di dirama- 

 zione della superficie multipla F. 



Pertanto la conclusione che le jacobiane delle reti suddette 

 appartengano ad un sistema lineare, permane anche in questo caso. 



E cosi la restrizione introdotta nel corso della precedente 

 dimostrazione resta eliminata. 



