INTORNO Al FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA, ECC. 37 



Relativamente al 2° caso in cui i C\ abbia in A un punto 

 base, che potremo supporre, per semplicità, di molteplicità vir- 

 tuale eguale alla effettiva, si può ripetere il ragionamento pre- 

 cedente, salvo che la a non presenta più una sola condizione 

 alle C.^ che debbano contenerla, per modo che un punto di a 

 non è in generale un punto doppio per una C^ spezzata nella a 

 e in una curva residua (come avveniva nel caso precedente). 

 In questo caso dunque la a non fa parte delle curve jacobiane 

 di iG^I, e quindi neppure delle curve aggiunte ad esso. 



Il teorema dimostrato stabilisce che l'operazione di aggiun- 

 zione (facente passare da un sistema lineare al suo aggiunto) ha 

 carattere invariante relativo nelle trasformazioni birazionali della 

 superficie, ossia ha carattere invariante a meno di curve eccezio- 

 nali fondamentali per la trasformazione. 



Perciò i sistemi e i caratteri invarianti di una superficie, 

 che si desumono a partire da un qualsiasi sistema lineare di 

 essa operando per aggiunzione, per somma, e per sottrazione, in 

 quanto possano venire influenzati dalla presenza delle suddette 

 curve eccezionali, sono invarianti relativi (cfr. i n' 23, 24, 25)^ 



22. — La superficie F priva di singolarità, supposta appar- 

 tenente ad uno spazio S^ con A: > 3, può proiettarsi in una su- 

 perficie dello spazio ordinario S^. 



Eseguendo la proiezione da punti esterni generici, si avrà 

 in ^3 una F^, dello stesso ordine ti, dotata soltanto di una curva 

 doppia, nodale, con un numero finito di punti tripli (tripli per 

 la curva e per la superficie), sulla quale curva si troveranno 

 inoltre un numero finito di punti uniplanari {pinch-points). 



Rispetto alla suddetta superficie F„ di S^, considereremo le 

 superficie aggiunte, definite dalla proprietà di passare semplice- 

 mente per la curva doppia. Avremo anzitutto il teorema: 



Le superficie qPn-^o-r, d'ordine n — 4 4-1* (i' — 1)> aggiunte 

 alla F„ segano sopra F„ {fuori della curva doppia) curve aggiunte al 

 sistema lineare determinato su F„ dalle superficie generali d'ordine r. 



Stante la proprietà fondamentale del n° 19, basterà stabi- 

 lire il teorema per le superficie aggiunte di un dato ordine, ad 

 es., per le qp„_3 (supposte esistenti). E per ciò è sufficiente os- 

 servare che una <p„_3, presa insieme a due piani qualunque, sega 

 su F„ una curva appartenente al sistema lineare segato dalle 



