INTORNO AI FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA, ECC. 39 



stessa proprietà vale anche per un sistema dotato di punti base 

 assegnati. 



Prendendo come sistema \C\ quello segato su F^ dai piani, 

 si ha che \C' — C\ viene segato dalle superficie (Pn-i aggiunte d'or- 

 dine n — 4. E quindi per il n° 20 : Le sezioni delle qp„_4 sono in- 

 varianti, in senso relativo, per trasformazioni birazionali della su- 

 perficie, cioè invarianti a meno di curve eccezionali (Noether). 



Spogliate delle curve eccezionali della superficie, che entrano 

 in esse come componenti fisse, le sezioni di F„ colle cp„_, hanno 

 carattere invariante in senso assoluto, e diconsi curve canoniche. 



Le curve canoniche si possono definire mediante la seguente 

 proprietà caratteristica, che mette in evidenza come esse sieno 

 invarianti in senso assoluto: Una curva canonica della superficie F, 

 presa insieme alle curve eccezionali di F, e a tre curve di una 

 qualunque rete irriducibile, senza 'punti base su F, costituisce una 

 curva appartenente al sistema lineare completo determinato dalla 

 jacobiana della rete (*). 



Il numero delle curve canoniche {d'ordine > 0) linearmente in- 

 dipendenti, che appartengono alla superficie F, costituisce il suo 

 genere geometrico superficiale p^, che è un invariante assoluto. 



25. — Se \ C'\ non contiene | C\ può darsi tuttavia che \iC'\ 

 contenga \iC\ (i > 1), e si ha egualmente l'invarianza relativa 

 di \i C — i C\. Così si trovano le curve pluricanoniche {bicano- 

 niche...) e i plurigeneri (bigenere...) della superficie F. (Cfr. In- 

 troduzione... n° 39). 



26. — Coi caratteri virtuali (genere tt e grado n) di un 

 sistema lineare \C\, virtualmente privo di punti base su F, e 

 con quelli tt', n', del sistema aggiunto \C'\, si formino le 

 espressioni 



UUi = tt'— 3(Tt— 1)4- w 



u)j = ?i' — 4 (tt — 1)4" ^^• 

 Si prova che queste espressioni non variano ove esse sieno 



(*) Tale proprietà delle curve canoniche fe implicitamente contenuta 

 nella dimostrazione algebrica dell'invarianza di esse data dal sig. Noethek 

 nel Bd. 8 dei " Mathematische Annalen ,. 



