40 FEDERIGO ENRIQUES — INTORNO AI FONDAMENTI, ECC. 



calcolate partendo invece che da IC|, da un qualunque altro 

 sistema lineare \K\, virtualmente privo di punti base su F. 

 Basta per ciò calcolare il genere e il grado del sistema | (C+ ^)' j 

 colle formule del n° 11, tenendo conto che 



Si dimostra così che uji, UJ2 sono invarianti relativi della su- 

 perficie. Tra di essi sussiste la relazione W2 = m\ — 1. (Cfr. In- 

 troduzione... n" 41, e Castelnuovo e Enkiques, 1. e, n° 5). 



Se, come nel n" 41 della Introduzione... citata, si pone la 

 restrizione che la superficie F possegga un numero finito di curve 

 eccezionali, _p'^^ = uii -|- ò è un invariante assoluto, il quale nel- 

 l'ipotesi pg > 0, esprime il genere virtuale delle curve canoniche 

 {genere lineare della superficie, Curvengeschlecht di Noether). 

 (Cfr. Castelnuovo e Enkiques, 1. e. n^ 20, 21). 



27. — Finalmente si arriva a stabilire il significato inva- 

 riante, in senso assoluto, del genere numerico aritmetico della su- 

 perficie F, di i^„ nel modo seguente: 



Si definisca (con Zeuthen e Noether) il genere aritmetico pa 

 di i^„, come il numero virtuale {^Pg) delle superficie aggiunte (p„_4, 

 linearmente indipendenti, desunte dalle formule di postulazione 

 (cfr. Introduzione..., n° 37). 



Si prova (1. e. e n° 40)^ che il sistema aggiunto a quello \Cr 

 determinato su F„ dalle superficie generali d'ordine r abbastanza 

 elevato (basta prendere r>p^ — p^ sega sulla curva Cr gene- 

 rica una serie (canonica) che ha la deficienza ò\Cr\=Pg — Pa- 



Si prova ancora che la deficienza analoga, calcolata per un 

 sistema lineare irriducibile \K\ contenuto in 1(7^1, vale 



ò{K)<ò{Cr). 



Poiché prendendo r assai alto, ogni sistema i A | si può sup- 

 porre contenuto in iC,.], si giunge al seguente teorema, che mette 

 in luce l'invarianza, in senso assoluto, della differenza pg — pa'- 

 Per la superficie F, la differenza p^ — Pa è la deficienza massima 

 della serie (canonica) segata sopra la curva generica di un suo 

 sistema lineare irriducibile {senza ipermoltiplicità accidentali nei 

 punti base), dal proprio sistema aggiunto. 



