GIACINTO MORERA — SULLA DEFINIZIONE DI FUNZIONE, ECC. 99 



LETTURE 



Sulla definizione di funzione di uno, variabile complessa. 



Nota del prof. GIACINTO MORERA. 



In lina breve mia nota, nel 1886 presentata al R. Istituto 

 Lombardo (" Rend. del R. Ist. Lomb. „, S. II, V. XIX), io di- 

 mostrai la proposizione seguente: 



Se una variabile complessa w dipende in tal guisa da un'altra z 

 che al variare di questa entro un dato campo T la prima varii 

 con continuità e resti monodroma e finita, e se inoltre l'integrale 

 J" w d z esteso all'intero contorno di qualsivoglia porzione di T ri- 

 sulta sempre nullo, la w è necessariamente funzione della z (nel 

 senso di Riemann). 



Questa proposizione dà luogo ad una nuova definizione di 

 funzione di una variabile complessa, la quale, sebbene in fondo 

 equivalga alla definizione di Riemann, mi sembra meritare l'at- 

 tenzione dell'Accademia perchè essa introduce direttamente l'uso 

 di quei fecondi procedimenti dei quali Cauchy con tanta ele- 

 ganza si servi per stabilire la teoria delle funzioni di una va- 

 riabile complessa. 



Ne sembrerà strano che si ricorra all'integrazione curvi- 

 linea per riconoscere se una variabile F sia funzione di un'altra f, 

 ove si rifletta che, qualunque sia il numero delle variabili da 

 cui entrambe dipendono, essendo /-' determinata in corrispon- 

 denza a ciascun valore della /", l'espressione differenziale Fdf 

 dev'essere un differenziale esatto. 



Ciò premesso io stabilisco la definizione seguente. Una va- 

 riabile complessa w^u-f-iv, uniforme, continua e finita in un 

 campo connesso T del piano x, y si dice che quivi è funzione della 

 variabile indipendente z = x-[-iy, quando l'integrale j-wdz esteso 

 al contorno di qualsiasi porzione semplicemente connessa di T è 

 uguale a zero. 



