100 GIACINTO MORERA 



Si osservi che se e una porzione qualunque di T e a' è 

 quell'area che da a si ottiene rendendola semplicemente con- 

 nessa con dei tagli, sarà ^wd2 = qualora l'integrazione si 

 estenda all'intero contorno di cf'; ma i due margini di uno 

 stesso taglio essendo percorsi per versi contrarli e la tv essendo 

 continua attraverso al taglio, la somma dei contributi recati 

 all'integrazione dai due margini di ciascun taglio è nulla: dunque 

 la relazione 



j ivdz = 



sussiste ancora quando l'integrazione si estenda all'intero con- 

 torno della porzione cr percorso in verso positivo o negativo, 

 ossia in guisa che l'area racchiusa sia sempre dalla stessa parte 

 dell'osservatore. 



Per ciò nella definizione si può dire che tv è funzione di z 

 quando si abbia sempre: 



(1) jwdz = (), 



essendo l'integrazione estesa all'intero contorno di una qualsiasi 

 porzione di T. 



L'unico svantaggio che a primo aspetto presenta la nostra 

 definizione è che indicata con iv,, un' altra funzione di s in T 

 non segue immediatamente, come avviene colla definizione di 

 RiEMANN, che il prodotto w w<, è pure funzione di z in T. 



1. — Se le funzioni reali u, v hanno le derivate parziali 

 prime determinate ed integrabili nell' area e, dalla (1), mercè 

 l'impiego della notissima formula: 



(2) .r (If - f )''''= ^ ('^'''^ + ^^"^v) {*) , 



seguono le relazioni: 



/o\ ^w <)» òli _^ 



^■^^ J^ ~"ò^ ' 17 ~~ "~ òl ' 



e reciprocamente. 



(*) Per dimostrare questa formula senza introdurre inutili ipotesi re- 

 strittive conviene ricorrere al procedimento da me indicato nel mio arti- 

 colo : Dimostrazione di una formula di calcolo integrale , inserito nella 

 " Rivista di matematica , del prof. Peano (anno 1896). 



