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SULLA DEFINIZIONE DI FUNZIONE DI UNA VARIABILE, ECC. 101 



Queste relazioni si compendiano nell'unica 

 dx i àij ' 



la quale, detto E-\-ix] il comune valore dei due membri, dà 

 immediatamente : 



(4 ) d{ti + i v) = (E -^ ir])d{x -\- iy). 



Dunque allora w = ii-\- iv ha rispetto a z = x -[- iy la de- 

 rivata. Reciprocamente ammessa questa proprietà, ossia la rela- 

 zione (4), da questa seguono le (3) e poscia, mercè la (2), si 

 ottiene la (1) : dunque allora w è funzione di z secondo la nostra 

 definizione. 



Inoltre supposto che la derivata ^ -\- ir\ di ìi' sia continua 

 e finita in T, essendo il -\- ir\)dz il differenziale esatto della 

 funzione uniforme, continua e finita w, il suo integrale esteso a 

 qualunque linea rientrante è nullo: e per conseguenza la deri- 

 vata è pure funzione di z. 



2. — In una regione semplicemente connessa del campo T 

 si scelga un punto fisso Zq ed un punto mobile z: integrando 

 lungo una qualunque linea che in (J va da Zq in z e ponendo 



z 



W= (wdz. 



la W sarà in e uniforme, continua e finita ed inoltre avrà ov- 

 viamente rispetto a, z la derivata w; sicché in base a quanto 

 sopra si è veduto concludiamo che IT è in a una funzione di z. 



Sia ora Wa un'altra funzione di z in T, la quale ammetta 

 quivi la derivata prima ivj , pure finita e continua, ed anche la 

 derivata seconda. 



Considerata come precedentemente una qualunque porzione 

 semplicemente connessa a, si ha quivi : 



wtVadz = d(W. w„) — W wj dz ; 



e siccome WivJ ha la derivata rispetto a z sarà funzione di ^. 



