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Dalle [2] si ottengono le [1] e quindi le [1], [2] sono equi- 

 valenti. Però le [1], [2] si comportano in modo essenzialmente 

 diverso quando si applicano allo studio di una curva gobba. Le 

 [1] contengono elementi tutti appartenenti alla curva e quindi 

 le formule ottenute per mezzo di esse sono degli invarianti asso- 

 luti. Le [2] contengono elementi estranei alla curva e non for- 

 niscono quindi sempre degli invarianti. — Di piìi le [2] si 

 comportano assai diversamente secondo che m=0 o 7n=l. Per 

 m = 0, ilf è un vettore e le [2] si ottengono dalle [1] ponendo 

 M\ T, M\ N, M\ B al posto di T, N, B, e danno così, come le 

 ordinarie formule di Sereet, le derivate dei coseni degli angoli 

 che le direzioni variabili T, N, B, fanno con una direzione fissa; 

 quindi per lo studio della curva mediante esse occorre conside- 

 rare in ogni punto P ben quindici numeri {tre coordinate di P, 

 nove coseni di direzione, i numeri s, p, t). Per m=l, invece, 

 M e xxn punto e le [2] contengono, come le [1], sei soli elementi; 

 però tre di questi sono estranei alla curva. 



Il Prof. Cesàro, nelle sue Lezioni di Geometria intrinseca, si 

 è valso delle [2], per m= 1 {condizioni d'immobilità), per otte- 

 nere in modo rapido ed elegante le proprietà delle curve piane 

 e gobbe (p. 20, 125). Di formule analoghe si vale, e con egual 

 semplicità, per lo studio delle superfici (p. 153), Le precedenti 

 osservazioni provano che tale metodo è suscettibile di un'ulteriore 

 semplificazione. Tale semplificazione è già stata ottenuta per le 

 curve (*) mediante 1' uso sistematico delle formule di Frenet, 

 Per le superfici la si può ottenere sostituendo alle condizioni di 

 immobilità di un punto estraneo alla superficie (**), formule ana- 



(*) G. Peano, Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, a. 1887; 

 Lezioni di analisi infinitesimale, a. 1893. — C. Burali-Forti , Introduction à 

 la Geometrie différentielle suivant la méthode de H. Grassmann, a. 1897. 



{**) È da notarsi che il metodo delle condizioni di immobilità è ana- 

 logo a quello che si ottiene applicando i quaternioni allo studio della linea 

 della superficie descritta dal punto P. Invero non avendosi per i quater- 

 nioni la somma di un punto con un vettore, lo studio dell' ente descritto 

 da P si riduce allo studio di un vettore di origine fìssa If e di estremo 

 variabile P (Cfr, ad es., Maxwell, Electricité et Magnétisme, e la Nota di 

 M. Saerau sulla Théorie des quaternions, a. 1899). Quindi, mentre il metodo 

 delle coordinate vincola il punto a tre piani, quello dei quaternioni, e delle 

 condizioni d' immobilità, vincola il punto ad un solo punto , e quello di 

 Grassmann lascia il punto libero da qualsiasi vincolo. 



