LE FORMULE DI FRENET PER LE SUPÉRFICÌ 235 



loghe a quelle di Fkenet: ciò mi propongo appunto di dimostrare 

 in questa nota (n** 2, formule I, II), oltre far vedere che definito 

 il parametro differenziale come vettore (secondo Hamilton) questo 

 si presta meglio del numero di Lamé allo studio intrinseco delle 

 superfici (n'' 4). Mi valgo (n' 1, 3) di parte dei resultati già ot- 

 tenuti nella mia nota Sopra alcune questioni di geometria diffe- 

 renziale " Circolo di Palermo „, anno 1898 (*). Le indicazioni 

 (p. ) si riferiscono alle citate Lezioni di Geometria intrinseca del 

 Prof. Cesàro, alle quali rimando il lettore sia per le applicazioni 

 delle formule che espongo, sia per il confronto del metodo vet- 

 toriale col metodo delle condizioni d'immobilità. 



1. — Sia P{q, q') un punto funzione continua, insieme alle 

 sue derivate, delle variabili numeriche q, q' e nel campo di va- 

 riabilità di queste sia 



dP dP ^ 



dq dq 



Il punto P descrive, col variare ài q e q', una superficie: 

 per un valore fisso di ^', e variando q nel campo dato, P de- 

 scrive una curva della superficie la cui tangente in P è la retta 



P— ; analogamente per q costante e q' variabile : il piano tan- 

 gente in P alla superficie è il piano P , — -,• 



Il vettore 



dP dP 



U = 



dq dq' 



\ dq dq' ) 



è vettore unità (cioè di modulo uno) che ha la direzione della 

 normale alla superficie in P. 



(*) Le condizioni di immobilità sono pure applicate dal CesAro per lo 

 Congruenze di rette (p. 202) e per i sistemi tripli ortogonali (p. 211). A questi 

 ultimi il lettore può facilmente estendere le mio formule (4) e quindi le 

 (I), (II) essendo T, T, U i vettori unità normali in P alle tre superfici. Per 

 le congruenze è facile trasformare le condizioni d' immobilità (p. 203) in 

 formule vettoriali: però credo che lo studio diretto della forma di seconda 

 specie a{q, q) ad invariante nullo (na = 0) conduca più rapidamente ai re- 

 sultati, come il lettore può facilmente persuadersene esaminando quanto 

 ho esposto nel n" 6 della mia nota ora citata (Palermo). 



