LE FORMULE DI PRENET PER LE SUPERPICI 237 



Poniamo 



(3) / ^= 



òs OS OS às 



U ^'=^ 



u 



^ _ ò^pdp JJ ^, _ _ ^l dp JJ 



\ y ~ ÒS^ ÒS y ~ Ò,S'2 ÒS • 



I numeri '^, ^f, ^ e i numeri "^^ &r\ ^' diconsi rispet- 

 tivamente torsione geodetica, curvatura normale e curvatura geo- 

 detica delle curve s e s' in P (*). 



Le condizioni 



verificate rispettivamente in tutti i punti di una linea , indivi- 

 duano le linee di curvatura, le asintotiche, le geodetiche, poiché le 

 equazioni differenziali di tali linee sono appunto (mia nota, 1. e.) 



dP. dir =(){''''), d^P^U=0, d^P.dP.U=i). 



Se I, J sono vettori ortogonali, cioè I\J=Q si ha diffe- 

 renziando 



dI\J-= — dJ\I, 



(*) I numeri '^' e (f' si sono ottenuti da '^ e ^ cambiando s in s e 

 ?7 in — V, passando così dal sistema T, T', U al sistema di egual senso 

 T', T, — U. Invece S)^' si è ottenuto da ^)r'caml)iando solamente s in s, 

 e ciò abbiamo fatto per uniformarci all'uso comune ed ottenere, ad es., 

 S)T+ §yr\ e non 0T — 0T' , come valore della curvatura media in P. 



(**) Risulta subito da questa condizione il teorema di Tkrqukm sulle 

 superfici che si tagliano secondo linee di curvatura. Se U, U\ sono i vettori 

 unità normali alle due superfici nel punto P che hanno a comune, e dP è 

 la direzione della tangente in P alla linea d'intersezione, si ha d[U\ Uy) = 

 ==dU\ Ux -j- U\ dUi: ora, se la linea è di curvatura per entrambe le super- 

 aci, dU e dUi sono paralleli a dP e quindi d{U\Ui) = 0, cioè le due su- 

 perfici si tagliano sotto angolo costante; se d(U\ Ui)~0 q dU h parallelo 

 a dP allora anche dUt è parallelo a dF e la linea comune è di curvatura 

 per entrambe le superfici. 



