LE FORMULE DI FRENET PER LE SUPERFICI 241 



4. — Occupiamoci ora del parametro differenziale. 



Sia u un numero funzione di P. Chiameremo pakametro 

 DIFFERENZIALE DI u SULLA SUPERFICIE, 6 lo indicheremo con yw, 

 il VETTORE parallelo al piano tangente in P e tale che 



(5) du = '^u\ dP. 



Il vettore v^ esiste ed è univocamente determinato. 

 Esiste; perchè se in tutto il campo di variazione di ^ e g' 



(il che nulla toglie alla generalità) i vettori—, ^-r sono orto- 



//.x \ du dP , 1 du dP 



^ ' V" — / ^p,» ~^g ^ -r TdFy 'd^ ~d([ 



\dq] [dq'l 



si ha appunto 



Vw I dP= vw I (^ tig + -^ (ig' ) = du. 



E univocamente determinato perchè se /, J sono vettori 

 del piano tangente in P e tali che du=^I\dP, du = J\dP, deve 

 essere (/ — ./) | dP = per ogni direzione dP, cioè deve essere 

 I-.J=0. 



Per u = cost, P descrive una linea, ed essendo du = 0, la 

 (5) dice che syu è un vettore o nullo o normale a tale linea nel 

 punto P. Proprietà analoga si ha per il parametro differenziale 

 (vettore) nel piano e nello spazio. 



Se u, V sono numeri funzioni di P, e f{u, v) è un numero 

 funzione di u, v si ha dalla (5), 



df= f^^udP+^^^v dP=(^S^u-\-^^v] dP, 

 ' du ^ \ ' dv \ du ^ ^ dv I 



e poiché v/" è determinato univocamente si ha dalla (5) 

 j, df i df 



che dà il modo di ottenere il y/" mediante il v'* ^ il V^- I" 

 particolare si ha 



^{u-{-v)=S7u-\-^v, ^{uv)=u^v-\-v^u,^{ulv)^v^u—u^v)jv^, ecc. 



