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5. — Abbiano s, s', T, T il significato stabilito nel n" 2. 

 Dalla (5) si ha per il quoziente differenziale (n° 1), del numero u 

 nelle direzioni s, s', 



du 



òt 



e si ha così il significato geometrico dell'operazione -r- appli- 

 cata ad un numero. 



Essendo v^ ^^ vettore del piano TV , si ha identicamente 



e quindi per le (7) 



(8) ^u--=''lT-\-^T 



per qualunque coppia ortogonale s, s' . 



Consideriamo un'altra coppia ortogonale Si,s'i e sieno T^, T\ 

 i vettori analoghi ai vettori T, T . Se G è l'angolo che 1\ fa 

 con T e precisamente se 



Ti = cose r+ sene r, 

 allora 



T\ = — sene T+ cose T'. 



Ciò posto si ha, per qualunque numero u funzione di P, 

 (9) 



-— = cose -. — y- sene - — 



os\ OS ' ds 



T-r ^= — sene -^^^ — h cose T-7 (P- 162) 



OS i OS OS ^ ' 



poiché i secondi membri (cfr. le (7)) valgono appunto y^^l^i» 



Le (9) esprimono i quozienti differenziali relativi a due di- 

 rezioni ortogonali mediante i quozienti differenziali di altre due 

 direzioni ortogonali qualunque. 



E notevole il fatto che le (9) dimostrate quando u è numero 

 funzione di P valgono quando u è forma geometrica qualsiasi 

 funzione di P. Per provarlo basta nelle (9) scrivere mu al posto 



