LE FORMULE DI PRENET PER LE SUPERFICI 



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di u ove ni è forma geometrica costante (ma arbitraria) e tale 

 che mu è numero (*). 



Per mezzo delle (9) si verifica facilmente che i numeri 



ÒVM 



rp \ dyu 



r-, 



òVi 



"d7 



T 



Vò« 



ds 



T' 



non mutano col mutare della coppia ortogonale s, s'. Il primo 

 di tali numeri è quello che comunemente chiamasi parametro 

 differenziale secondo di u (p. 165) (**); il secondo numero è co- 

 stantemente nullo, cioè si ha sempre 



(10) 





T = 



17 



r. 



{*) Questa proprietà permette di esprimere le curvature If)^, ^f/,... 

 delle linee Si, s\ mediante quelle di s, s (p. 158, 159, 162): basta applicare 

 le (9) alle (4) e far uso delle (I), (II); così, ad es., si ha 



•^^1 i^ 1-^1 



cos'^e 



dU 

 òs 



je ^ + sene ^ i I S coser+ sener I = 



OS OS ) I f ) 



T— sene cose]- -^- \ T + —r 



f OS I òs 



) 



^^Tcos^'e — '^sen2e + .g^T'sen^e. 



sen^e 



òs' 



T' 



In particolare per esprimere ^i si ha 



allora se le linee s, s' sono geodetiche, ^= 0, ^ =0 si ha ^i — — -^ 



che definisce la curvatura geodetica come la curvatura di una linea piana. 



h 

 A questo resultato il Cesàro (p. 162) giunge considerando l'operazione—. 



che è precisamente l'operazione che devesi applicare alle coordinate vetto- 

 riali del punto (m = l) o del vettore (w = 0), 



M=mV-\-xT^yT' A-zU 

 per ottenere ((1), (II)) il vettore 



(••) 11 purameiro differenziale, misto di u, v (p. 108) è il numero V* I V. 

 che col suo annullarsi esprime che le due linee u = cost, v = cost si ta- 

 gliano in P ad angolo retto. 



