LE FORMULE DI FRENET PER LE SUPERFICI 



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6. — Diamo termine a questa nota esponendo un' altra 

 semplice applicazione del parametro differenziale definito come 

 vettore. 



La condizione necessaria e sufficiente affinchè la linea q sia 



ima geodetica (^ = 0) e che mod — sia funzione della sola q 



(cfr. la (e) della nota precedente). Prendiamo allora come linee q 

 le geodetiche uscenti da un punto fisso o normali ad una linea 

 fissa ; i numeri q sieno gli archi di queste linee contati dal punto 

 fisso dalla linea fissa; le linee q' sieno le traiettorie ortogo- 



dP 



nali delle linee q. In tali ipotesi mod — = 1 e la (6) dà 



yw = 



dP 



dq 



gli elementi di archi delle linee q, q' sono Qdq, Q'dq'. Se questi sono quelli 

 prima indicati con ds , ds' si ha dalle (6), (7) 



(6) 



du 

 ds 



1 du 



òu 1 du 



M'~~^ di' 



Da queste e dall'ultima delle (4) si ha 



^ \ds òs'ì I òs hs \Q' dq I 



1 d^P 



ma U — 



dP 

 dq 



dP . ,. 



-- e quindi 

 dq 



dQ _ d^P 

 dq dqdq 



]^dj ^ 



Q dq~ Q^Q' dq( 



dP 



T- , da CUI 

 dq 



dP 



dq ' 



{e) 



\ ^ QQ dq 

 y QQ' dq 



1 dQ _\_ ÒQ ^ ò\ogQ 

 Q d/ ds 



1 ÒQ' òlogQ' 



Q' ds 



ds 



e analogamente 

 (p. 155). 



Dalle (a) e (e) risulta subito la (12) e quindi la (10) resta nuovamente 

 dimostrata mediante le linee q, q. 



Operando come si è fatto per ottenere le (e) si ha 



e dalle ultime due si trae ancora '^-\- '^' = come è facile verificare de- 



rivando rispetto A q' e q \e eguaglianze - f/=0, 



dP 

 dq' 



U=0. 



