INTORNO AD ALCUNE SEMPLICI INFINITÀ DI SPAZI, ECC. 323 



merativa, ecc. (" Rendic. del Gire. mat. di Palermo „, t. S'', 1889): 

 e da cui si ottengono le due precedenti eguaglianze, supponendo, 

 rispettivamente, q = 2 e r/ = 3. 



Il numero dei [q — 1], ognuno dei quali contiene q genera- 

 trici di una superficie rigata, d'ordine m e di genere p, apparte- 

 nente ad un [q], è eguale al numero dei [q — 2\, ognuno dei 

 quali contiene q punti di una curva, pure di ordine va. e di ge- 

 nere p, appartenente ad un [2q — 2]. 



Lo stesso Autore dimostra pure che entrambi essi numeri 

 sono dati dalla somma 



L(-i) 



q — 'Ai j\i 



la quale si intende estesa sino ad un termine nullo: ovvero, 

 come io scrivo, dalla somma 



Lmii \ q — i 



Ora, per g' = 2, l'eguaglianza, espressa dal teorema sopra 

 enunciato, riguarda enti di un piano, e — come si è notato — 

 può dirsi immediata: ma come si dimostra essa, in generale? 



Si può dire, in sostanza, che il Prof. Castelnuovo proceda, 

 separatamente , alla ricerca delle due funzioni di w, p e q, di 

 cui nell'enunciato. Difatti, dopo averne individuata una, mediante 

 alcune equazioni funzionali di riduzione (che si dimostrano per 

 via geometrica), e mediante la conoscenza dei valori da essa 

 funzione assunti, per alcuni valori particolari attribuiti agi' in- 

 dici m, p Q q, conclude che l'altra è eguale alla prima, visto che 

 soddisfa alle stesse equazioni funzionali (dimostrate ancora per 

 via geometrica), e che vi è coincidenza effettiva dei valori as- 

 sunti da essa, nelle stesse ipotesi particolari, relative agl'indici. 



La presente Nota 



1° dà un teorema piìi generale di quello del Prof. Castel- 

 nuovo: piìi generale, nel senso che esprime l'eguaglianza tra il 

 numero degli spazi, di conveniente dimensione, ognuno dei quali 

 contiene il massimo numero di spazi generatori di una varietà, 

 d'ordine m e di genere p, luogo di oo^ [h-\- 1], e l'analogo nu- 



