324 ALBERTO TANTUKRI 



mero, per una varietà, pure di ordine m e di genere p, luogo 

 di ooi \h\ Sicché, dal mio risultato, discende, subito, quello del 

 Prof, Castelnuovo, ponendo h^O. 



Qui, inoltre, la eguaglianza, più generale, ora accennata, si 

 dimostra a priori, vale a dire indipendentemente dalla cono- 

 scenza dei due numeri che si affermano eguali. Dimodoché, 

 essendo noto — in virtìi di anteriori ricerche — uno dei ter- 

 mini della eguaglianza stessa, si viene a scrivere, immediata- 

 mente, il valore dell'altro: e, quindi, questa Nota 



2" risolve un nuovo caso, assai comprensivo, del problema 

 del numero degli spazi contenenti il massimo numero possibile 

 di spazi generatori di una varietà algebrica, luogo di oo^ spazi. 



1. — Una varietà algebrica, luogo di coi \k\ la quale sia 

 di ordine m e di genere jp, si indica con f^ [A- -|- !]• 



Data, in un [n] , una f" [A; -[- 1] , il passare per qualcuno 

 dei suoi [A-] generatori, é, per un \ii — s], condizione multipla se- 

 condo (A:-[-l)s — 1 ; e, — poiché gli [n — s\ di [n\ sono oo'"~'+^'* — , 

 esisterà, in generale, un numero finito di [n — s] , ognuno dei 

 quali contiene un dato numero intero i di [ìc\ generatori della 

 fp [k -f- 1], se #, s, i e A; soddisfano alla eguaglianza 



(« — s + l)s = e)(A- + l)s— 1(. 

 In particolare, questa eguaglianza é soddisfatta, ponendo 

 « = ^ (A -|- 1), s := 1 , i = q, k = h -\- 1; 

 ovvero ponendo 



n = q{h -\- 1) -\- q — 2, s = q, i = q, k = h. 



Orbene, dico che i numeri corrispondenti sono eguali tra 

 di loro. Si ha, cioè, questa proposizione: 



In un [t ^ q(h-\- 1)], esiste un numero, in generale finito, 

 di [t — 1], ognuno dei quali contiene q [h -\- 1] generatori di 

 una fp [A -|- 2] , appartenente ad esso [t] : e questo numero 

 eguaglia quello, in generale anche esso finito, il quale, in un 

 [^ -1" ^ — 2], esprime quanti sono i [t — 2J, ognuno dei quali 

 contiene q [h] generatori di una rp[A + l], appartenente ad 

 esso [t-\-q — 2]. Si suppone h>0, q>2. Per q = 2, ved. n» 8. 



