326 ALBERTO TANTURKI 



varietà algebrica, luogo di cc^ [t -\- q — h — 3], la quale noi 

 chiameremo TT. E questa la fp [t -f- q — // — 2], che vedremo 

 legata alla V^ dalla relazione di cui alla fine del num° preced. 



4. — Dico, anzitutto, che IT è di ordine m e di genere p. 

 Per dimostrarlo, immaginiamo un [h -f- 2], che diremo Q, preso, 

 genericamente, nel [t — q-\-2], intersezione di 2i con 2,. Lo 

 spazio Q, sta, con Gì (spazio di dimensione t — h — 2), in un [t], 

 che è 2i : e quindi taglia Gì secondo un [{h-{-2)-\-{t—h — 2) — ^=0], 

 vale a dire secondo un punto, che diremo Di. Allo stesso modo, 

 Q taglia G^ in un punto, che diremo D^. D'altra parte, nello 

 ambiente [t~\-q — 2J, Pg, che ha per dimensione t-\-q — h — 3, 

 taglia Q, secondo un [(^ + ^ — A — 3) + (/« + 2) — (^ + 2 — 2) = 1], 

 ossia secondo una retta f, la quale sarà la retta che unisce Di 

 con /),, visto che Pg contiene Gì e G^. 



Ciò premesso, facciamo variare Gì su fi. Varierà allora Dj, 

 descrivendo una curva A^ : la quale è di ordine m e di genere p, 

 essendo la traccia di r^ su Q. Varierà, di conseguenza, lo 

 spazio G,, e quindi il punto D^: descrivendo una curva A„ 

 d'ordine m e di genere p, traccia di f, su Q. Varierà, infine, 

 lo spazio Pg, e quindi la retta/", sua traccia su Q : descrivendo 

 una superficie rigata qp, che è la sezione di TT, fatta con lo 

 spazio Q. L'ordine ed il genere richiesti, sono, evidentemente, 

 quelli di qp. 



Ora, questi due numeri, relativi a qp, si hanno • presto , se 

 consideriamo le due curve Ai e A,^, entrambe d'ordine tn e di 

 genere j^, e riferite tra loro, a punto a punto, in modo che 

 siano omologhi due punti. Di e D, , quando sono tracce, su Q, 

 di due spazi Gì e Gq, dà cui il secondo è ottenuto dal primo, 

 per via delle successive proiezioni del num° 3. La rigata qp è 

 costituita dalle rette, ognuna delle quali unisce due punti omo- 

 loghi nelle due curve: ed è, perciò, di genere p e di ordine 

 7n-\-m — a, a essendo il numero degli eventuali punti uniti 

 nella corrispondenza. Questi punti uniti esistono effettivamente, 

 e sono in numero di m. Difatti, — per le condizioni assegnate 

 agli spazi 2 — , 2i e 22 hanno a comune un [t — 1]: 2i, 22 

 e 23 hanno a comune un [t — 2] : ... : 2i. 22, Ss, ... e 2, hanno 

 a con^une un [t — ^ -f- 1] , il quale giace , evidentemente, nel 

 [t — g- -f- 2], intersezione di 2i con 2,. Esso [t — 2+1] taglia 



