INGRANAGGI PIANI 399 



Se, ad es. , poniamo vp =: msenwcp, essendo m, n numeri 

 reali, la ruota B fa oscillazioni di ampiezza 2m radianti per 

 ogni rotazione di 2tt/w radianti della ruota A e P/a assume tutti 

 i valori da — mn a -\-mn. La (9) diviene 



e quindi: la normale in P passa x>er il punto di contatto, corrispondente, 

 della circonferenza mobile con la fissa. 



Dalla (a) risulta pure che l'espressione generale del punto che descrive 

 una epicicloide è 



(b) p=A-^ «É>''»9 1-\-be'niI 



ove a, b, m, n sono numeri non nulli. La forma (b) si identifica alla (a) 

 ponendo 



{e) R-\- r = a , lì ==b, = — 



r m 



ovvero 



(,c) R-\- r^^^b , li ^= a , = — , 



e quindi: ogni epicicloide è epicicloide in due modi. 



Da (e) da [e) si ricava R, r, h in funzione di a, b, m, n (come si è 

 fatto per la (9)) cioè per mezzo della (b) si ottiene il cerchio fisso, il cerchio 

 mobile e la posizione iniziale del punto generatore. 



Il caso R = 2, r=—l dà P =^ A -\- e^i I -^ he-*i I; per /2=±1, P de- 

 scrive un diametro della circonferenza i2 e si ha il moto, detto usualmente, 

 Cardanico; per h diverso in valore assoluto da 1, P descrive un ellisse. 



L'espressione 



(d) p=A + rte'("'3+P) I-f 6<?'W+?) /, 



ove p, q sono costanti, si riduce (per mH=w) alla {b), ponendo nella (rf), al 



posto 9, Q + Oq con 6„ =^ — ■' . I numeri R, r, h si ricavano ancora dalle 



m — n 



(e) (e') poiché sono indipendenti da ^ e g': il centro del cerchio fisso è A; 

 il centro del cerchio mobile è A-\-{R-\- r)e^i'^^o^v) 1 e il punto generatore 

 della curva P è A-\-{R-\-r + h)e'i'"io-^P) I. 



Alla (d) si può sempre dare la forma generica 



P=A + girne J -|_ gin? K 



ove /, A' sono vettori del piano e quindi: ogni epicicloide si ottiene mediante 

 due VETTORI ROTANTI tt rupporto di velocità costante. 



Per i punti singolari e per altre proprietà delle epicicloidi, Cfr. For- 

 mulaire mathématique publié par G. Peano, a. 1902. 



