408 e. BURALI FORTI 



prende per punto di partenza nei trattati ordinari: noi abbiamo 

 già ottenuti tutti gli ingranaggi piani senza farne uso, ne ne fa- 

 remo uso in seguito (*). 



{*) Anche il moto di sviluppo, in generale, si riduce, come tutte le 

 proprietà cinematiche, ad un elementare esercizio di calcolo geometrico. 



Sieno P e Q due linee complanari che si toccano nel punto fisso Co: 

 i punti P, Q si corrispondano in modo che gli archi CqP, C^Q sieno eguali, 

 e sia s il loro valore comune : sia Kq un punto invariabilmente collegato 

 con la linea Q. Se poniamo 



(a) Ko = Q + re^9^, 



r è la distanza di Kq da ^ e 6 l'angolo che Ko — ^ f a con la tangente 

 in Q. Diremo che: alla linea Q si dà moto di sviluppo sulla linea P quando 

 la linea K [trocoide] descritta dal punto Kq è definita dalla funzione 



ds 



Esaminiamo alcune proprietà di questo moto, un cui caso particolare 

 si è già considerato per le epicicloidi. 

 Da (a) e [h) si ha 



{K,~Q? = {K~Pf; 



differenziando ed osservando che (A'o — Q)idQ = {K — P)idP si ha 



{K~ P)idK=0 



la quale prova che: la ?iormaìe alla trocoide in K ^Jrtssa ^jé??' il punto di con- 

 tatto della curva mobile con la curva fissa. 



Se deriviamo la (a) rispetto ad s si ricava subito, essendo Pi il raggio 

 di curvatura in Q, 



, , dB 1 ^ 1 dr 



le) — ;— = — senG , — r- = — cos9 



ds r Pi ds 



che, secondo il Cesàro, sono le condizioni di immobilità del punto A"». 

 Da {b) e (e) si ricava, se p è il raggio di curvatura in P, 



dK / 1 l \ ,, . dP 1 \ 1 



■ ^ >- ■ ^ y ,i{K-P) 



ds \ p Pi j . ds \ p Pi / 



che dimostra ancora il teorema precedente e contiene la formula di Savary. 

 Le formule [a), {b) determinano la traiettoria di Kq dato il moto di 

 sviluppo mediante le linee P, Q; ma ci possiamo proporre di determinare 

 la linea Q date le linee P, K. Essendo data K si può dare al punto K la 

 forma (ò); r e 6 sono funzioni di s tali che 



(i^]{K—P)^0, cioè 4^== -cose 

 \ ds I ds 



che è la seconda delle condizioni (e). In conseguenza la linea Q sarà deter- 



