GINO FANO — LE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 501 



Le congruenze di rette del 5° ordine 



composte di tangenti principali di una superficie. 



Nota di GINO FANO. 



1. — Nella mia Memoria: Nuove ricerche sulle congruenze 

 di rette del 3° ordine prive di linea singolare (*) io ho conside- 

 rate soltanto quelle congruenze, i cui raggi hanno i due fuochi 

 in generale distinti, e sono perciò tangenti doppie (propriamente 

 dette) della relativa superficie focale. Quando invece sopra ogni 

 raggio i due fuochi coincidono, le rette della congruenza (sup- 

 posta sempre priva di linea singolare) sono tangenti principali 

 (o tangenti tripunte, o tangenti asintotiche) della superficie 

 luogo dei fuochi stessi. Nella presente Nota vengono appunto 

 determinate le congruenze di rette del 3° ordine di quest'ul- 

 timo tipo. 



In una congruenza di tangenti principali di una superficie 

 ogni raggio conta come tre fra quelli che escono dal suo punto 

 di contatto ; poiché il numero complessivo delle tangenti prin- 

 cipali che passano per un punto generico dello spazio risulta 

 diminuito di sei unità quando questo punto appartiene alla su- 

 perficie (**), e ciò per eifetto delle due tangenti principali di cui 

 quel punto è allora punto di contatto (e fuoco). Per una con- 

 gruenza del 3** ordine priva di linea singolare, la quale si com- 

 ponga di tangenti principali di una superficie, dovranno dunque 

 essere verificate le due condizioni seguenti: 



1° La superficie focale — della quale le rette della con- 

 gruenza sono tangenti tripunte — dovrà essere del 3° ordine. 

 Infatti un raggio generico della congruenza non potrà incon- 

 trarla ulteriormente, all'infuori del proprio punto di contatto; 



(*) " Mem. della R. Acc. di Torino ,, ser. II, voi. LI. Cfr. in particolare 

 la nota a pag. 5. 



(**) Cfr. ad es. Salmon-Fiedler, Anahjtische Geometrie des Raumes, II 

 (Leipzig, 1880); p. 24. 



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