LE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 503 



rette di essa contenute in un piano generico sono le tangenti 

 d'inflessione della cubica razionale intersezione di questo piano 

 colla rigata R^ ; le tre rette uscenti da un punto generico sono 

 le generatrici cuspidali del cono, di 4° ordine e 3* classe, cir- 

 coscritto da quel punto alla rigata. 



3. — Se la rigata R^ ha le due direttrici rettilinee distinte, 

 la sua equazione può scriversi sotto la forma: 



(1) xlxs = xl Xi^ (*) 



essendo a^i = e a?2 = i due piani tangenti ad essa nei punti 

 cuspidali della direttrice doppia, ea;4 = 0ea;3 = 0i piani che 

 proiettano rispettivamente questi due punti dalla direttrice ret- 

 tilinea semplice. 



Si vede allora facilmente che la quadrica osculatrice a 

 questa rigata lungo la generatrice contenuta nel piano a7i-f"^^2=0 

 ha per equazione: 



(2) X^ 372 a73 + 3 X" iCi a^g 4" 3 X ^2 ^4 -|- a?i a?^ = 0. 



E le rette della nostra congruenza (3,3), vale a dire le tan- 

 genti alle asintotiche del 2" sistema sulla rigata R^ (**), saranno 

 appunto le generatrici di queste co^ quadriche appartenenti al 

 sistema dia^i = 3:2 = ea;3 = .r4=0. Peri valori X = e X=±co 

 la quadrica (2) si spezza in due piani, e ciascuna sua schiera 

 rigata in due fasci; e si hanno così complessivamente 4 fasci 

 di rette contenuti nella congruenza. I loro centri e piani sono 

 rispett. i soli punti e piani singolari di quest'ultima. 



E noto che, quando una curva piana razionale di 3*' ordine 

 ha una cuspide, la tangente cuspidale assorbe due delle tre tan- 

 genti d'inflessione; ed è anzi questo il solo caso in cui le dette 



(*) Salmon-Fiedler, Op. cit., pag. 366. 



(**) Queste asintotiche sono quartiche di 2* specie passanti per i due 

 punti cuspidali della rigata i?' e aventi contatti di 2° ordine colle genera- 

 trici di B? che contengono rispett. quei punti. Esse vengono segate sopra ^ 

 dal fascio di quadriche X'^Xi-\-Tcx^x<, = ^. Cfr. Clebsch, Uéber die Steiner'sche 

 Flachei* Journ. f. Math. ,,Bd. 67, 1867, pag. 18); e Cremona, Rappresentazione 

 della superfìcie di Steiner... (" Rend. Ist. Lomb. „, t. IV, 1867, pag. 22). 



