506 GINO FANO 



La congruenza (3,3) formata dalle tangenti alle asintotiche del 

 secondo sistema sulla rigata B^ (*) si comporrà delle genera- 

 trici di tutte queste quadriche appartenenti al sistema di 

 x^ = X4^ = 0. Fra le oo^ quadriche (2) una soltanto è degenere 

 (\ = ± 00 ) e si compone del piano a;^ = contato due volte. 

 Corrispondentemente, la congruenza (3,3) contiene un unico fascio 

 di rette, che ha per centro il punto uniplanare della rigata R^ 

 e sta nel relativo piano tangente. Ogni retta di questo fascio 

 conta come due fra le tre che appartengono ad ogni suo punto 

 e ad ogni suo piano, ed è perciò raggio doppio della con- 

 gruenza (**). Il piano e il centro del fascio (contati due volte) 

 appartengono alla superficie focale, risp. luogo e inviluppo, della 

 congruenza. All'infuori di quel fascio, non vi sono nella con- 

 gruenza altri coni od inviluppi piani. 



La congruenza si rappresenta birazionalmente sul piano 

 singolare a;^ = 0, facendo corrispondere a ogni suo raggio la 

 propria traccia su questo piano. Alle rigate sestiche intersezioni 

 di essa cogli oo^ complessi lineari dello spazio corrispondono le 

 curve di 4° ordine del sistema lineare: 



a]xi^d Xi xl x^ 4- 27 xl xl [ 



(3) 



-\- b Xixl-\- e xlXj^-\- d xlxl-{- e Xz xl-\- fxl = 



aventi a comune un tacnodo (x^ = X3 = 0) colla relativa tan- 

 gente (^3 = 0), e un punto semplice consecutivo al tacnodo su 

 ciascuno dei due rami di curva passanti pel tacnodo stesso. 

 Queste quartiche sono di genere uno; e perciò: L'attuale con- 

 gruenza (3,3) ha il genere sezionale p = 1. — Il trinomio fra pa- 

 rentesi nell'equazione (3) si spezza, a meno del fattore nume- 

 rico 27, nel prodotto di due fattori quadratici (distinti): 



{xj_ x^ + m xl) {xi x^-j- n xl), 



{*) Queste asintotiche sono cubiche sghembe passanti per il punto cuspi- 

 dale della rigata R^, e ivi tangenti alla retta doppia di questa rigata e oscu- 

 latrici al suo piano cuspidale. Cfr. i lavori citati di Clebsch (pag. 22) e 

 Cremona (pag. 23). 



(**) Cfr. la mia Mem. cit., n. 10 e relativa nota. 



