LE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3" ORDINE, ECC. 507 



E la trasformazione quadratica: 



a?! : 3^2 : iCs = ^^i ^s — w XI : X3-X3 : XI. 



coi tre punti fondamentali tutti infinitamente vicini (come anche 

 l'analoga, che si ottiene sostituendo a in l'altro coefficiente n) 

 muta il sistema lineare (3j di quartiche nel sistema di cu- 

 biche (*): 



27 a X, ] Xi X3 + {n — m) XI [ 

 (4) 



+ è Xi XI ^-cXl-^-id — mb) XI X3 + e X, XI -f /"X? = • 



aventi a comune tre punti semplici consecutivi nella posizione 

 Xj = X'g = , lungo la conica X^ Xo, -{- {n — ni) X^ = ; vale 

 a dire i tre punti base della rete di coniche: 



(5) Xi X3 4- (w — w) XI + X X^ X, + |n Xi = 0. 



In quest'ultima rappresentazione piana a ognuno degli oo^ raggi 

 doppi della congruenza (3,3) corrisponde una coppia di punti 

 semplici distinti: uno sulla retta X's = 0, e l'altro consecutivo 

 ai tre punti basi. Infatti la terza intersezione della cubica ge- 

 nerica (4) colla retta X3 ■= (che è tangente comune nel punto 

 Xj = X3 = 0) dipende dall'equazione : 



21 a [n — m) X^ + e X = 



e perciò soltanto dal rapporto -^ (al quale si può anzi dire che 



corrisponde proiettivamente). D'altra parte, la condizione perchè 

 la cubica (4) contenga un determinato punto consecutivo ai tre 

 punti basi, p. e. quello che appartiene alla conica generica (5) 



— ossia la condizione perchè le curve (4) e (5) abbiano non 

 soltanto tre, ma quattro intersezioni coincidenti in Xj^Xs^O 



— si trova essere: 



27 a X [n — w) + e = 



(*) I due sistemi lineari 00" (3) e (4) non sono però completi (ossia in- 

 dividuati dai soli punti basi); quindi l'attuale congruenza (3, 3), come su- 

 perficie dello spazio S^, non è normale: ma è invece normale per S^. 



