508 GINO FANO 



e dipende perciò anche dal solo valore di — . Sicché tutte le 



cubiche del sistema (4) che incontrano la retta X^ = (fuori 

 di Xo = X3 = 0) in un medesimo punto avranno a comune al- 

 tresì un ulteriore punto consecutivo ai tre punti basi, e viceversa. 

 Questi due punti semplici saranno perciò le immagini di un 

 medesimo raggio doppio improprio della congruenza (3,3). 



5. — Si abbia ora una superficie cubica F^ non rigata, 

 sulla quale le asintotiche si ripartiscano in due fasci distinti, e 

 le tangenti principali perciò in due congruenze pure distinte 

 fi e fa, ciascuna del 3*^ ordine. Sia a una retta qualunque con- 

 tenuta in F^; dico che i punti di a devono essere tutti, perla 

 superficie, punti parabolici. 



Infatti, se così non fosse, ad ogni punto generico P di a 

 apparterrebbero due tangenti principali della superficie, una delle* 

 quali sarebbe a stessa, mentre l'altra p ne sarebbe distinta. Una 

 di queste due rette, e sia ad es. a, apparterrebbe alla congruenza 

 Ti; l'altra alla congruenza Po. Però sopra a vi sarà certo qualche 

 punto parabolico (il quale potrebbe essere , eventualmente anche 

 un punto doppio della superficie, oppure un punto semplice dal 

 quale escano tre rette della superficie contenute in un piano, e 

 perciò infinite tangenti principali). Facendo avvicinare P inde- 

 finitamente, sopra a, a un tal punto, le due tangenti principali 

 uscenti da esso dovranno tendere a coincidere; ossia /) tenderà 

 a coincidere con a. La retta a sarà dunque, in ogni caso, una posi- 

 zione limite della p, al variare di questa in modo opportuno entro 

 la congruenza f,: sarà perciò anch'essa una retta di quest'ultima 

 congruenza. Da ogni punto P di a escirebbero così almeno quattro 

 rette della congruenza f-z'. ci stessa, e la p che va contata tre 

 volte; quel punto sarebbe dunque singolare, e dovrebbe perciò 

 appartenere a infinite rette della congruenza f^; vale a dire 

 ogni tangente in P dovrebbe essere tangente tripunta. Ora; se 

 la superficie F^ non è rigata, ciò non può avvenire per tutti i 

 punti di a, a meno che non vi sia lungo questa retta un unico 

 piano tangente che incontri F^ secondo a stessa contata tre 

 volte. E allora i punti di a sarebbero tutti parabolici, contro 



