LE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 509 



l'ipotesi fatta (e sarebbe anzi questo un caso particolarissimo 

 di una retta luogo di punti parabolici). 



Di qui si deduce facilmente che la retta a — essendo luogo 

 di punti parabolici — deve contenere due punti doppi della su- 

 perficie F^ (distinti, od infinitamente vicini); poiché, se nonne 

 contenesse alcuno, oppure ne contenesse uno soltanto, sempre il 

 piano tangente a F^ in un punto generico P di « incontrerebbe F^, 

 all'infuori di a stessa, secondo una conica passante per P e non 

 tangente ad a; sicché l'intersezione complessiva avrebbe in P 

 un punto doppio con tangenti distinte. Se invece sopra a stanno 

 due punti doppi della superficie, questa ammetterà lungo a stessa 

 un unico piano tangente, che l'incontrerà secondo a contata due 

 volte e in un'altra retta è, distinta in generale da a; e ogni 

 punto di a sarà allora parabolico. — I due punti doppi di F^ esi- 

 stenti sulla retta a potrebbero anche essere infinitamente vicini; 

 allora sulla retta a vi sarebbe, sostanzialmente, un unico punto 

 doppio biplanare (o uniplanare), i cui due piani tangenti con- 

 terrebbero entrambi la a (*). 



Concludiamo pertanto: Ogni retta esistente sulla superficie F^ 

 deve contenere due punti doppi distinti di questa superficie, oppure 

 un punto doppio almeno biplanare del quale essa sia l'asse. Inoltre 

 F^ sai'à toccata lungo quell'intera retta da un medesimo piano 

 tangente. 



6. — In una importante Memoria di Schlaefli (**) sono 

 enumerati tutti i vari casi che può presentare una superficie 

 cubica non rigata a seconda del numero e tipo dei suoi punti 

 doppi. E se ne hanno in tutto 21 casi diversi (***) (****). 



Ora è facile riconoscere che le condizioni enunciate alla 

 fiùe del n° prec. riguardo alle rette contenute nella superficie F^ 



(*) Cfr. C. Segue, Sulla scomposizione dei punti singolari delle superfìcie 

 algebriche (" Ann. di Matem. „, ser. 2*, t. 25", pag. 12). 



(**) On the distribution of surfaces of the third arder into Sjyecies , 



' Phil. Trans. „, 1863, pag. 193 e seg. 



(***) A noi interessano qui soltanto le " famiglie „ (da Schlaefli distinte 

 con numeri romani) e non le " specie „, le quali dipendono soltanto dalla 

 realtà o meno di certi elementi (nell'ipotesi che sia reale la superficie). 



(****) Cfr. anche Salmon-Fiedler, Op. cit., pag. 374. 



