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sono soddisfatte per tre soltanto (le tre ultime) delle 21 famiglie 



di SCHLAEFLI. 



E infatti: 



1) Vanno escluse anzitutto le superficie prive di punti 

 doppi, o che contengono soltanto punti doppi conici; poiché vi 

 è sempre qualche retta che non contiene nessuno di questi punti 

 doppi (Famiglie I, II, IV, Vili, XVI); 



2) Tra le superficie che contengono uno o piìi punti doppi 

 biplanari e eventualmente anche qualche punto doppio conico 

 — in numero complessivo di ^ < 3 — , vanno escluse tutte quelle 



che contengono altre rette all'infuori delle ( * l che congiungono 



i punti doppi a due a due, e di quelle che fossero eventual- 

 mente assi dei punti doppi biplanari — cioè intersezioni dei 

 relativi piani tangenti — , avvertendo che quest'ultimo caso si 

 presenta soltanto per quei punti doppi che producono un abbas- 

 samento di almeno quattro unità nella classe della superficie. 

 Si eliminano così anche le Famiglie III, V, VI, VII, IX, X, XI, 

 XIII, XIV, XVII, XVIII; 



3) Infine, tra le superficie aventi un punto doppio uni- 

 planare, vanno escluse quelle che contengono qualche retta non 

 passante per questo punto (Famiglie XII e XV). 



Rimangono invece i tre tipi seguenti: 



1) La superficie XIX di equazione: 



con un punto doppio biplanare (xi = j^j = a?- = 0) e un punto 

 doppio conico {xy = iCg = a;^ = 0), la quale contiene due rette : 

 la congiungente dei due punti doppi [xy z=x^^^ 0), e l'asse del 

 punto biplanare {xy = ajj == 0) ; 



2) La superficie XX di equazione: 



Xy = X^ [Xz X^ — j— X'^) 



col punto doppio uniplanare Xi = x-, = x^ =: e la sola retta 

 Xi = Xi = ; 



3) La superficie XXI di equazione: 



•? 



Xi — X2 X^ Xa 



