LE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 511 



contenente tre punti doppi bìplanari e le (sole) tre rette che 

 congiungono questi punti a due a due. 



Fra queste dovranno trovarsi le F^ che noi andiamo cer- 

 cando. 



Ciascuna di queste superficie contiene una retta (xi = x^ = 0) 

 tale che il piano tangente lungo di essa (xg ^= 0) la incontra se- 

 condo la medesima retta soltanto, contata tre volte. Su questa sola 

 proprietà si fonda la discussione ulteriore che faremo nei n' segg. 



Però, anche senza ricorrere all'enumerazione di Schlaefli, 

 si può dedurre facilmente dall'ultimo enunciato del n** prec. che 

 le jP ivi considerate contengono tutte almeno una retta la quale, 

 contata tre volte, forma la loro intersezione col piano tangente 

 lungo di essa. E dico anzi che, supposto che vi sia una retta a (quale 

 ad es. la a;. = a?3 = del caso XIX di Schlaefli) tale che il 

 piano TT„ tangente lungo di essa incontri ulteriormente F^ secondo 

 una retta h distinta da a, dovrà il piano tangente a F^ lungo h 

 essere osculatore alla superficie come a noi occorre: non potrà 

 cioè quest'ultimo piano contenere un'ulteriore retta e della super- 

 ficie distinta da h. Infatti la retta h non può contenere altri punti 

 doppi di F^ all'infuori del punto ah (perchè altri non ne contiene, 

 sopra è, la sezione a% determinata dal piano TT„); e similmente 

 la retta e, se distinta da b, non potrebbe contenerne altri all'in- 

 fuori di he. Di qui si trae che il punto he non può essere di- 

 stinto da ah\ vale a dire che anche e passerà per il punto ah 

 (senza stare nel piano ah). E allora, al pari è, anche e dovrebbe 

 essere asse del punto doppio biplanare (e non uniplanare) ahc : 

 il che non è possibile, se e è distinta da b. 



7. — Sia dunque a una retta, certo esistente sulla super- 

 ficie F3, tale che il relativo piano tangente non incontri ulte- 

 riormente questa superfìcie. Assumendo a come retta x(=Xz=^0 

 e il piano tangente lungo di essa come piano Xo = 0, l'equazione 

 della superficie sarà della forma: 



(1) x^ — x,(p = 



dove qp è una forma quadratica nelle Xi. Allora le quadriche 

 del sistema lineare oo^: 



(2) qp + a Ti + Mi arj + T a:l = 



