512 GINO FANO 



(dove a, p, y sono i tre parametri) segheranno sopra F^ le ooS 

 terne di coniche contenute nei piani per a ; poiché, eliminando cp 

 fra le equazioni (1) e (2), si ha la nuova equazione, conse- 

 guenza delle precedenti: 



(3) x\-\- ax\x.i-^ ^Xixl-]- T a^2 = 



che può rappresentare ogni terna di piani per la retta Xy=Xi^=^ 

 (ossia a). 



In particolare, quando la (3) rappresenti un unico piano 

 per «, e sia il piano Xi -f- kx^ ■= 0, contato tre volte, la qua- 

 drica (2) corrispondente, vale a dire: 



(2') cp + 3^- x\ + 3A:2 ^^ x^ + Bxl = {) 



sarà osculatrice a F'^ lungo la conica contenuta nel piano sud- 

 detto Xi 4-^"a?2 = 0. E perciò, in un punto qualunque di questa 

 conica, le due tangenti principali di F^ non saranno altro che 

 le generatrici della quadrica (2') uscenti dal punto stesso. La 

 congruenza delle tangenti principali della superfìcie F^ si comporrà 

 dunque delle generatrici di ambo i sistemi delle oo^ quadriche (2') 

 (e, eventualmente, di qualche parte singolare, come sarebbe ad 

 es. il piano rigato Xz^^O). 



Perchè dunque la congruenza delle tangenti principali di F^ 

 si spezzi in due parti distinte, ciascuna del 3° ordine, è neces- 

 sario e sufficiente che le due schiere di generatrici della qua- 

 drica (2') descrivano, al variare di k, sistemi di rette distinti. 

 Ora, il sistema ooi di quadriche (2') può considerarsi come una 

 curva razionale, e precisamente una cubica sghemba, nello 

 spazio S-^ costituito dal sistema lineare (2): allora l'insieme 

 delle schiere rigate di tutte queste co^ quadriche apparirà come 

 un S-i doppio, la cui varietà di diramazione è data dalla va- 

 rietà oc2 dei coni contenuti in (2); e noi domandiamo che 

 la cubica suddetta (2') sia immagine, in questo spazio doppio, 

 di una coppia di curve razionali distinte. Perciò è necessario e 

 sufficiente (*) che questa cubica sia tangente alla varietà di 



(*) Cfr. anche il ragionamento analogo, più dettagliato, nella mia Mem. 

 cit., n" 61. 



