LE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 513 



diramazione dello spazio doppio in ogni sua intersezione con 

 essa; vale a dire che il sistema oo^ di quadriche (2') sia tan- 

 gente al sistema oo"^ dei coni contenuti in (2) in ogni elemento 

 il quale sia comune ad essi. 



8. — La varietà oo^ dei coni contenuti nel sistema li- 

 neare (2) è di quarto grado. Ma da essa si stacca la rete di 

 coppie di piani: 



a xl -f- ^Xi Xi -f- Y-f'j = 



che va contata due volte; sicché di questa non occorre occu- 

 parsi ulteriormente. Rimane, come parte residua, una varietà 

 quadratica (M) di coni. Si ponga ora qp^Z «j^. Xi^, dove, al 

 solito, a^- = «fci ; e si indichino con A il discriminante di (p, 

 con ^,fc i subdeterminanti dei singoli elementi a,;;. Se noi for- 

 miamo il discriminante dell'equazione (2') e lo [eguagliamo a 

 zero, l'equazione (di 4° grado) in k che ne risulta, vale a dire: 



(4) |- (a33«44 - al)k^^ A^k^-]- ^A,^¥+ 3A,Jc + J^ = 



ci determinerà i quattro coni contenuti nel sistema (2') — in- 

 tersezioni cioè di questo sistema cubico colla varietà quadra- 

 tica M — all'infuori del piano doppio x^ = 0, che corrisponde 

 al valore A: = ±oo, e che è già un elemento di contatto di quei 

 due sistemi di quadriche (*). Tutto si riduce adunque a doman- 



(*) Lo prova il fatto che l'equazione (4), la quale avrebbe dovuto essere 

 di 6° grado, si è abbassata al 4°; ma si può anche riconoscerlo diretta- 

 mente. — Infatti il sistema (2') è tangente nell'elemento X2^ = al fascio 

 X2'-\-\xiX2 = 0; e la varietà M, la quale entro il sistema (2) avrebbe per 

 equazione (nei parametri a, P, y) : 



( ay — — ) (rt33a,4— «3'.^) + a^a + Mi2-h lAì + ^ = 



è tangente in quello stesso elemento alla rete: 



« («33«4.v — «34') + ^22 — 

 la cui equazione nelle Xi è: 



qp r ^1*+ ^XiX2-\- -iXi' = 0. 



E quel fascio è evidentemente contenuto in questa rete. 



