514 GINO FANO 



dare che requazione (4), di 4° grado in k, abbia due radici 

 doppie. 



Per semplificare la ricerca e l'interpretazione delle con- 

 dizioni a ciò necessarie, possiamo valerci dell'osservazione se- 

 guente. Non essendosi fatta sinora alcuna ipotesi sulla posi- 

 zione del piano a^i = nel fascio di asse a (ossia rri=:r2 = 0), 

 noi possiamo sostituirgli qualsiasi altro piano x^ -\- kxz = (di- 

 stinto dal piano a^z = tangente a F^ lungo a), sostituendo in 

 pari tempo alla quadrica cp = quella quadrica (2') che cor- 

 risponde al medesimo valore di k. Pertanto, se nel sistema (2') 

 oltre al piano doppio xl = ^ vi è qualche altra quadrica dege- 

 nere (cono coppia di piani), noi potremo supporre che sia 

 questa stessa la cp = (e sia quindi .4 = 0), bastando perciò 

 prendere come nuovo piano a?i = il piano della conica lungo 

 cui tale quadrica è osculatrice a F^. 



Ora è facile riconoscere che nel detto sistema (2') vi è certo 

 questa ulteriore quadrica degenere. Infatti, se vi fosse soltanto 

 il piano doppio a?i = , l'equazione (4) non dovrebbe essere sod- 

 disfatta da nessun valore 'finito di k ; dovrebbe dunque essere : 



«33 «44 — «!4 = Au = ^12 = ^u — ; .4 =!= 0. 



Allora nel determinante aggiunto di A: 



B= I A,, 1 =A'^0 



sarebbero nulli i subdeterminanti dei tre elementi A^^ , J.34 , ^44; 

 e siccome questi sono rispett. eguali a 



«33 -4" 5 «34 A ; «44 A 



cosi, .essendo A=^0, ne seguirebbe «33 = a34 = a44 = 0. La retta 

 iCi ::= iCg = apparterrebbe quindi alla quadrica cp = , e sarebbe 

 di conseguenza retta doppia per la superficie data F^ (che ha 

 l'equazione xf — a^a qp =0). E ciò non può essere, se la F^ non 

 è rigata. 



9. — Sia dunque qp = una quadrica degenere, e perciò 

 ^ = 0. L'equazione (4) ammetterà allora la radice A: = 0; e, 

 poiché ogni sua radice deve essere doppia (0 quadrupla), sarà 



