LE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3" ORDINE, ECC. 515 



pure ^11 = 0. Ora, per una nota proprietà dei determinanti, 

 essendo A = Au = 0, sarà altresì A^ = /^n . A22 = : la ra- 

 dice A: = dell'equazione (4) è dunque almeno tripla, e perciò 

 certo quadrupla ; quindi J22 = 0. E di qui si vede subito che la 

 quadrica qp = è una coppia di piani ; perchè, se fosse un cono 

 propriamente detto, il suo vertice avrebbe le coordinate Xi e x-z 

 (rispett. = \^Au , l^Aoo) nulle, starebbe cioè sulla retta Xi=X2^=0 ; 

 e assumendo allora questo come punto a^i = Xj = a^s = , man- 

 cherebbe in 9, e quindi in tutta l'equazione di F^, la coordi- 

 nata x^; sicché F^ sarebbe un cono. Questa stessa osservazione 

 mostra altresì che i due piani componenti la quadrica cp ^ 

 sono certo distinti e s'intersecano secondo una retta non inci- 

 dente alla Xi = X2 = 0: assumendoli pertanto come piani x^=^0 

 e Xi = , sarà cp = x^x^ (a meno di un fattore numerico, dal 

 quale si può prescindere). E l'equazione della superficie F^ sarà 

 di conseguenza: 



Questa è la superficie XXI di Schlaefli (*): la sola superficie 

 di 3° ordine non rigata la quale sia pure di 3^ classe. Essa ha 

 tre punti doppi biplanari distinti, e contiene soltanto le tre rette 

 che congiungono questi punti doppi a due a due: ciascuna delle 

 tre rette, contata tre volte, è l'intersezione completa della su- 

 perficie col piano tangente lungo di essa. 



1)1 questo caso, e in questo caso soltanto, — essendo verificate 

 le condizioni di cui ai prec." n.' 7 e 8 — le tangenti principali 

 della superficie si ripartiranno fra due disfinte congruenze del 

 3° ordine (come verificheremo anche direttamente al n'' seg.). E 

 precisamente dalla congruenza complessiva (6,9) delle tangenti 

 principali si staccheranno i tre piani rigati tangenti rispett. lungo 

 le tre rette della superficie (ossia i piani 3^2=0, x-i= 0, x^-=0); 

 e la parte residua si spezzerà in due congruenze (3,3). 



Ciascuna di queste congruenze (3,3) contiene tre sistemi oo^ 

 d'indice tre di rigate quadriche: le superficie sostegni di queste 



(*) Per le superficie XIX e XX di Schlakfli (cfr. n" 6) l'equazione (4) 

 del 11° 8 avrebbe k = come radice rispett. tripla , e semplice : è perciò 

 che anche (iuesti due casi risultano ora esclusi. 



