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rigate sono le stesse per entrambe le congruenze. Di questi si- 

 stemi Qo' di quadriche, uno ha l'equazione: 



(2") x^ X, + ?,kx\ + 3F x.x^^k^xl^^', 



e le equazioni degli altri due si ottengono da questa permu- 

 tando i tre indici 2, 3, 4 (due dei quali compaiono simmetri- 

 camente). Le quadriche ad es. del sistema (2") sono tangenti 

 ai piani iCg = e a:;4 = nelle loro intersezioni colla retta 

 Xi^= Xi = ; sul piano a?2 = esse segano il fascio di coniche 

 %*'4 4" ^kx\ ■= 0. 



I sei fasci di rette che hanno per centri, a due a due, i tre 

 punti doppi della superficie F^ e stanno nei relativi piani tan- 

 genti, appartengono tutti a entrambe le congruenze (3,3). 



Per ogni punto generico di ciascuno dei tre piani Xz = 0, 

 rcg = 0, a;4 = passa una sola retta si dell'una che dell'altra 

 congruenza non contenuta in quel piano. Ne seguono delle rap- 

 presentazioni birazionali delle due congruenze sopra quei piani, 

 nelle quali alle rigate sestiche intersezioni delle congruenze coi 

 complessi lineari di rette corrispondono curve di 4° ordine e di 

 genere uno, aventi a comune due punti doppi e una tangente 

 in ciascuno di questi punti. 



10. — La superficie x\ = x^ x^ x^ è (al pari delle rigate 

 cubiche considerate ai n' 3 e 4) una superficie- W di Klein- 

 LiE (*). Essa è trasformata in sé stessa da un gruppo con- 

 tinuo 00^ di omografie permutabili, nel quale sono contenuti due 

 sottogruppi pure continui oo^ aventi per traiettorie sulla super- 

 fìcie rispett. i due fasci di asintotiche. Questa proprietà, comune 

 a tutte le superficie-W e già notata da Klein e Lie, basta per 

 affermare che le asintotiche devono ripartirsi in due fasci distinti. 



E anche nota la forma semplicissima delle equazioni delle 

 linee asintotiche sopra una superficie-W. Nel caso attuale (**), 



(*) Sur une certame famille de courbes et de surfaces (" Compt. Rend. 

 de l'Ac. d. Se. ,, voi. LXX, 1870; pagg. 1222 e 1275). Cfr. anche altri lavori 

 più recenti sì dell'uno che dell'altro di quei due geometri (p. e. Lie-Scheffers, 

 Geometrie der Berìlhrungstransformationen, Leipzig, 1896 ; pagg. 334 e 361). 



(**) Per questo caso, la ricerea delle equazioni delle linee asintotiche 

 è proposta come esercizio nell'op. piìi volte cit. di Salmon-Fiedler, a p. 74. 



