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E scambiando ancora, per maggior comodità, le variabili y & z, 

 potremo rappresentare analiticamente ogni asintotica della nostra 

 superficie colle due equazioni: 



soddisfacenti identicamente la xijz = 1, Ai due valori di e cor- 

 rispondono rispett. i due fasci di asintotiche: agli oo^ valori 

 della costante C le singole asintotiche di ciascun fascio. Una 

 sostituzione pari (circolare) sulle variabili a;, y, z non altera 

 questo sistema di equazioni: una sostituzione dispari equivale 

 a cambiare e in e^, cioè allo scambio dei due valori di e (*). 



Le equazioni della tangente alla curva suddetta in un suo 

 punto qualunque — ossia di una retta generica dell'una o del- 

 l'altra congruenza (3,3) — saranno: 



X—x _ Y—y 



e si riducono facilmente alla forma; 



Z—z 



Ciascuna delle due congruenze (3,3) è contenuta in un complesso 

 tetraedrale, poiché è trasformata in se stessa da un gruppo oo* 

 di omografie permutabili, col medesimo tetraedro fondamentale 

 della superficie. La stessa proprietà sussiste pure (per la mede- 

 sima ragione) per le congruenze considerate ai n' 3 e 4 : soltanto 



(*) Se la superficie considerata è reale, e sono pure reali tutti tre i 

 suoi punti doppi (e quindi il nostro sistema di coordinate), le linee asin- 

 totiche saranno immaginarie, e saranno perciò ellittici tutti i punti della 

 superficie (all'infuori delle tre rette, che sono luogo di punti parabolici). 

 Però la nostra superficie, pur essendo reale, potrebbe avere un solo punto 

 doppio reale, e gli altri due immaginari coniugati ; allora la sua equazione, 



riferita a un sistema di coordinate reali, sarebbe del tipo z =^ -iri — s; e in 



questo caso i punti della superficie sarebbero iperbolici, e quindi reali le 

 asintotiche e le tangenti principali. 



