FRANCESCO SEVERI — IL GENERE ARITMETICO, ECC. 625 



Il genere aritmetico ed il genere lineare, 



in relazione alle reti di curve 



tracciate sopra una superficie algebrica. 



Nota di FRANCESCO SEVERI, a Torino. 



Nella teoria delle superficie algebriche si suol dare due defi- 

 nizioni del genere aritmetico superficiale : l'una dovuta a Zeuthen 

 e NoTHER e l'altra dovuta a Enriques. Ma ne l'una ne l'altra 

 sono analoghe a quella definizione del genere di una curva che 

 ricorre al confronto di due serie lineari, semplicemente infinite, 

 contenute in essa (*) ; nella quale, si può dire, è contenuta anche 

 la proprietà d'invarianza del genere nelle trasformazioni bira- 

 zionali della curva. 



Nella presente Nota mi propongo appunto di dare una defi- 

 nizione del genere aritmetico d'una superficie ricorrendo al con- 

 fronto di due reti di curve tracciate sulla superficie stessa: 

 definizione che al tempo stesso conterrà in se la proprietà d'in- 

 varianza del genere aritmetico rispetto ad ogni trasformazione 

 birazionale della superficie (**). Attorno a questa definizione 

 raggrupperò altri resultati , relativi al genere lineare d' una 

 superficie, e, alla fine, alcuni resultati numerativi sulle reti di 

 curve (***). 



Già fin dal 1893 il prof. Segre aveva pensato di ottenere 

 caratteri di una superficie ricorrendo al confronto di due reti 

 contenute in essa, proseguendo nell'ordine di idee che per le 

 curve svolse nella Introduzione e per le superficie aveva iniziato 



(*) Cfr. Segre, Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico sem- 

 plicemente infinito C Annali di Mat. „ (2), 22, 1894). 



('*) Ved. per il confronto di questa definizione con quella di Zeuthen 

 e NoTHEK, il n" 9 di questa Nota. 



("*) L'unico strumento di ricerca usato in questa Nota è il principio 

 di corrispondenza di Chaales. Si presuppone la definizione del genere di 

 una curva. 



