626 FRANCESCO SEVERI 



con le ricerche che pubblicò poi nella Nota: Intorno ad un 

 carattere delle superficie, ecc. (" Atti della R. Accademia di To- 

 rino „, 1896). E quando, pochi mesi or sono, dette a me il con- 

 siglio di studiare le reti di curve sopra una superficie algebrica, 

 mi comunicò alcuni fogli manoscritti, datati dal '93, nei quali, 

 come naturale estensione della definizione già rammentata del 

 genere di una curva, egli iniziava la ricerca del n** delle coppie 

 comuni alle due involuzioni che due reti determinano sopra una 

 superfìcie. 



Io però, nella presente Nota, non giungo alla nuova defi- 

 nizione del genere aritmetico proseguendo la ricerca del pro- 

 fessore Segre; ma adottando un metodo che poggia essenzialmente 

 sulla considerazione delle curve di una rete dotate di cuspide (*). 



1. — Sulla superficie F che, per semplicità, supponiamo 

 dotata di sole singolarità ordinarie (**), consideriamo una rete 

 di curve, cioè una oo^ di curve segnate su F da un sistema, 

 lineare co^ di forme passanti, eventualmente, per qualche curva 

 fissa. Se la parte variabile della curva generica è irriducibile, 

 vi è da considerare \sijacobiana della rete (***), ossia il luogo dei 

 punti semplici di F ognun dei quali è doppio per qualche curva 

 della rete: il punto generico di questo luogo è anche definito 

 dalla condizione di esser punto di contatto (proprio) delle cxji 

 curve della rete per esso. 



(*) Nelle sue Lezioni di quest'anno scolastico (1901-02) il prof. Segre 

 ha esposto i principali resultati che avevo ottenuto nello studio da lui 

 consigliatomi; e li ha esposti con alcune modificazioni d'indole didattica, 

 delle quali io qua e là ho profittato nella attuale redazione. 



(**) Cioè una linea doppia con un n" finito di punti tripli se F e 

 nello Sa; un n° finito di punti doppi impropri se è nello Si,; senza punti 

 multipli se è in uno spazio superiore. — La dimensione dello spazio am- 

 biente non ha, dopo ciò, influenza sul nostro studio. — Nel seguito quando 

 ci avverrà di considerare una trasformata birazionale di F, supporremo 

 che anch'essa abbia singolarità ordinarie. Questa ipotesi, come si sa, non 

 è restrittiva. Così facendo su ciascuna delle due superficie le curve fonda- 

 mentali saranno eccezionali. 



(***) Nei fogli manoscritti del prof. Segre già trovavasi considerato questo 

 luogo. — Il prof. Enriques nella sua Nota : Intorno ai fondamenti della geo- 

 metria sopra le superficie algebriche (* Atti della R. Acc. di Torino ,, 1901), 

 ha introdotto la jacobiana di una rete per semplificare notevolmente lai 

 teoria dei sistemi aarafiunti ad un dato sistema di curve. 



