IL GENERE ARITMETICO ED IL GENEKE LINEARE, ECC. 627 



Siano \C\ e \C'\ due reti di curve tracciate su F, e le 

 parti variabili delle loro curve generiche siano irriducibili; sia 

 poi K una curva di F, che non passi per alcuno degli eventuali 

 punti base di | C| e \C'\. 



Fissato entro alla rete ] C\ un fascio | C\ , per un punto A 

 di K passerà una (7 e vi sarà una C", che chiameremo C\, tan- 

 gente a quella C nel punto suddetto, ed una C", che diremo C'^^ 

 tangente a K nel punto medesimo. Variando A sn K avremo 

 entro alla rete \C\ una semplice infinità di coppie C'iC'^.Dne 

 curve di una stessa coppia vengono certamente a coincidere 

 quando, variando ^ su i^, la C per A tocca ivi K; ma non 

 possiamo esimerci dall'esaminare se una coincidenza si abbia in 

 corrispondenza ad un punto ^ di J^ nel quale non c'è contatto 

 fra K e la, C passante per quello. Allora la C nella quale do- 

 vrebbe aversi la coincidenza avrebbe punto doppio in A, e quindi A 

 sarebbe uno dei {K, J') punti comuni a ^ e alla jacobiana J' 

 di \C'\ (*): effettivamente in corrispondenza a un tal punto di K 

 si ha una coincidenza. Se indichiamo con p il genere di K, giacche 

 sono 2(C, K) -[- 2p — 2 i punti nei quali K è toccata da una C, 

 potremo dire che nella ooi di coppie C\C'2 si presentano 



2((7, K) + (J', K) + 2p - 2 



coincidenze. — Lo stesso numero si può calcolare per altra via, 

 mediante l'applicazione del principio di Chasles. Infatti la rete \C'\ 

 è assimilabile ad un piano di cui le C sono gli elementi (punti); 

 sicché tenendo conto di una forma ben nota del principio di cor- 

 rispondenza (**) si avrà che il n° delle coincidenze C'iC'2 è uguale 

 alla somma del n° delle coppie la cui C\ appartiene ad un dato 

 fascio (di I C" I ) e del n'^ delle coppie la cui C'^ appartiene ad 



(*) D'ordinario con la notazione (H, K} denoteremo il n" dei punti co- 

 muni alle due curve // e K. 



(**) Avendosi nel piano una 00^ algebrica di coppie PP' di punti, si 

 trova facilmente mediante l'applicazione del principio di corrispondenza 

 nel fascio dei raggi che da un punto del piano progettano i P e i P', che 

 iì n" delle coincidenze PP' è uguale alla somma del n° delle coppie il cui P 

 sta in una data retta e del n* delle coppie il cui P' sta in una data retta, 

 diminuita del n" delle coppie la cui retta PP' passa per un dato punto. 



