IL GENERE ARITMETICO ED IL GENERE LINEARE, ECC. 629 



ipotesi sia necessaria pel ragionamento, ma noi l'abbiamo fatta 

 per evitare l'esame, un po' minuto, delle coincidenze C\C'2 che 

 avrebbero avuto luogo in corrispondenza ai punti base di \C'\ 

 su K; tanto piìi poi che possedendo il resultato precedente in 

 quella ipotesi, facilmente si dimostra la sua validità in ogni caso. 

 Difatti se la curva K contiene dei punti base della rete | C] , è 

 certo che si può sempre costruire un fascio lineare | L [ di curve, 

 che non abbia punti base comuni con | C|, e del quale una curva 

 si spezzi in ir e in una parte residua Ki (che potrebbe anche 

 mancare) non contenente punti base di \C\. Sarà evidentemente: 



(./, L) - 3(C, L) = (J, K + K,) - 3(C, /f + K,) , 



purché fra le intersezioni della curva composta /iT-j- ^i con la 

 curva generica C o con la jacobiana J, non si tralasci di con- 

 tare quelle che cadono nei punti base di \C\. La precedente 

 relazione può anche scriversi 



{J, K) - 3(C; K) = (./, L) - 3(C, L) - (./, K,) + 3(C, K,). 



E poiché, in virtù di quanto prima s'è stabilito, {J,L) — 3(C,L) 

 ed (J, K^ — 3(6', ^i) non mutano mutando la rete | C|, ne viene 

 che il carattere d'immersione di K può anche calcolarsi col sus- 

 sidio di una rete avente dei punti base su K, purché si tenga 

 conto anche delle intersezioni che cadono nei punti base. 



Il medesimo artifizio ora usato, di considerare cioè il fascio \L 

 che contenga parzialmente K e soddisfi a certe condizioni rispetto 

 ai punti base di ] C| , serve per provare che se la curva K è 

 una C, il carattere d'immersione di K si potrà calcolare col sus- 

 sidio della rete |C|, purché al solito si tenga conto delle inter- 

 sezioni di K con un'altra C o con J, le quali cadono nei punti 

 base di \C\. 



Ancora un'osservazione. Se la superficie F, dotata di sin- 

 golarità ordinarie, é nello 5^3, si potrà calcolare facilmente il 

 carattere d'immersione della curva K su F, in funzione del n° \ 

 dei punti in cui K incontra la linea doppia di F, dell'ordine n 

 di F e dell'ordine m di K. Infatti il carattere d'immersione di K 

 calcolato col sussidio di una rete di sezioni piane di F, viene 

 uguale a {K, J) — 3w, ove -/ denota la curva di contatto del 

 cono circoscritto a i^ da un punto dello spazio. E poiché la J 



